Just nu i M3-nätverket
Jump to content

Sannolikhetslära matte


Zehra
 Share

Recommended Posts

I ett lotteri me 100 lotter finns det 5 vinstlotter. S.köper 3 lotter. Vad är sannolikheten att han får precis en vinst?? 

Link to comment
Share on other sites

Utan att ens försöka härleda till  mina föråldrade 40 akademiska poäng i statistik resonerar jag helt enkelt så här.

 

5% x 100 = 5 st vinstlotter bland 100 lotter 

3 st i procent av 5 st = 60%

60% av 5 % = 3%

 

Svar: 3% sannolikhet till minst en vinst.

 

Men sannolikheten för bara en vinst, dvs inte dessutom två eller tre? Då måste väl 3% reduceras med sannolikheterna för att lotterna 2 och 3 också kan bli vinstlotter? Låter kanske aningen knepigt eftersom i så fall blir då sannolikheten att få bara en vinstlott lägre än att få flera vinstlotter. Men å andra sidan säger förnuftet att ju fler lotter man köper, desto större blir sannolikheten för att flera vinstlotter ingår i köpet.
 

Någon piggare än jag kan säkert räkna ut det här.

Edited by Mållgan
Link to comment
Share on other sites

Du får inga exakta svar.

Men du kan göra vissa rimlighetsbedömningar.

 

Om det är 5% chans att vinna med 1 lott så borde chansen att få minst en vinslott vara ca 3 ggr så stor med 3 lotter. DVS omkring 15%.

Men. Om du vill ha exakt en vinst så måste sannolikheten vara lägre än 5% eftersom de två andra lotterna måste få ett bestämt resultat (nit). DVS sannolikheten är någonting i stil med 4.6% (5/100)*(95/99)*(94/98).

Googla sanolikhet betingad beroende oberoende union osv och se vad du får fram

Link to comment
Share on other sites

Hahaha. Akademiska poängen må va föråldrade men ditt minnet i sannolikhetslära verkar vara on top!!

tack för din hjälp ?

Link to comment
Share on other sites

Bara för att vara tydlig. Du inser att mitt exempel bara gav sannolikheten för att den första lotten var ensam vinnare? Det finns fler möjligheter...

Link to comment
Share on other sites

Vi kan vända lite på resonemanget kanske, ett enklare exempel.

Du har en tärning som du kastar tre gånger. Hur stor är chansen att du exakt bara ett kast där du får en etta?

Lite slarvigt ritat får man detta träd

bild.png.a7a81c3af87ca1737c8f2f5a461684b0.png

Grönt = 1 (1/6)

Rött inte 1 (5/6)

Där den markerade vägen ger dig de utfall som motsvarar exakt en etta givet tre kast och att detta sker i vilket kast som helst av de tre.

är ser vi ganska snabbt att denna metod att rita blir ganska komplex vid flera utfall men i detta fall kan du faktiskt räkna fram resultatet genom att räkna ut summan av sannolikheterna för de olika grenarna.

 

Noter att tärningskastet är inte helt ekvivalent med ditt fall. För om du har första lotten som vinst (5 av 100, dvs 5% chans), är risken/chansen för vinst på andra (4 av 99) osv.

Fast detta givet att du vet att första är en vinst, annars kan man se det som oberoende händelser, för alla lotter har ju innan du tittar på den första samma chans till vinst.

 

Det här med sannolikhet, det är något man kan gå vilse i.

 

Link to comment
Share on other sites

Det här kan man grotta ner sig i ordentligt och skulle kanske behöva en formel för att snabbt lösa. Professorn i matematisk statistik Tom Britton har nog en sådan. Men här är ett försök till ”manuell” lösning.

 

 

Sannolikheten för att den första lotten är vinstlott: 3% enligt ovan.

 

Sannolikheten för att den andra lotten inte är vinstlott om den första lotten är vinstlott: 95/99= 0,960 (avrundat). Sannolikheten för att den tredje lotten inte är vinstlott om den första lotten är vinstlott och den andra lotten inte är vinstlott:  94/98 = 0,959 (avrundat). Således. Sannolikheten till bara en vinstlott om den första lotten är vinstlott: 0,03 x 0,960 x 0,959 = 0,276% sannolikhet.

 

Detta sannolikhetsutfall bör rimligtvis även gälla för det fall den första lotten är en nitlott, den andra en vinstlott och den tredje är en nitlott samt i det fall de första och andra lotterna är nitlotter men den tredje är en vinstlott? Svaret på frågan blir då 0,276%.

 

Link to comment
Share on other sites

Googleförslag: återläggning, ordning

 

Återigen. Kör lite rimlighetsbedömningar.

Är 3% rimligt utifrån grovskattningarna?

 

Minst en vinst

Vinst för en lott 5% (5/100) och chansen för vinst när du köper 3 lotter måste vara är större (men det kan inte vara 3X större för då skulle du ha garanterad vinst efter ca20 lotter). Det är enklare att räkna ut risken att få 3 nitlotter och ta 1-risk för 3 nitlotter:

Om oändligt antal lotter blir det någonting i stil med

1-0,95*0,95*0,95=1-0,95^3=14,26%

 

Eftersom du bara har 100 lotter och tar bort en lott när den är dragen (ingen återläggning) så ändras sannolikheten efter varje dragning beroende på vad som hände innan. Det blir färre vinstlotter kvar om föregående lott var vinst. Till skillnad mot tärningsslag där sannolikheten för att få t.ex en 6:a är exakt likadant varje gång (oberoende av tidigare utfall).

Risken att få 3 nitlotter

95/100*94/99*93/98=0,856

1-0,856=0,144=14,4%  chans att få minst en vinst.

 

Exakt en vinst

Om det är ca 4,5% chans att den första lotten har vinst och de andra 2 är nitar så borde chansen att den 2a eller 3dje  är ensam vinst vara ungefär 4,5% var och den sammanlagda chansen borde vara större (eftersom det är större risk att få nit än vinst). Men det borde vara lägre än chansen att få minst ett rätt. Då är 3% orimligt. 

 

Här kan du se en variant av Monshis figur med de 3 möjliga vägarna att få exakt 1 vinst (varje "rad" är en ny dragning och det försvinner en lott (nit eller vinst) efter varje dragning)

 

yyy.thumb.png.99c4e8c5282e981f16d821d0b91586d3.png

 

 

 

 

 

 

Link to comment
Share on other sites

Zehra:  Nedanstående är bara för Mållgans ögon

 

 

Försök låta som en vis zen-munk, Yoda eller GW

"det är vägen som leder till målet"

 

I figuren ser man att det finns 8 möjliga vägar/utfall och det är bara tre av dessa som ger exakt 1 lotterivinst (endast vinst lott1, endast vinst lott2 och endast vinst lott3). Om du följer de tre vägarna får du fram sannolikheten för var och en:

  • (5/100)*(95/99)*(94/98)
  • (95/100)*(5/99)*(94/98)
  • (95/100)*(94/99)*(5/98)

Kan även skrivas som 

  • 5*95*94/(100*99*98)
  • 95*5*94/(100*99*98)
  • 95*94*5/(100*99*98)

Och då ser man att det står samma siffor i både täljare och nämnare för samtliga utfall, så svaret blir

3*(5*95*94)/(100*99*98)=3*4,6%=13,8%

 

Om man räknar ut sannolikheten för alla 8 "vägar" i figuren så ser man att de summerar till 100% vilket är ett krav om man har gjort rätt.

0.006% 0.196% 0.196% 4.602% 0.196% 4.602% 4.602% 85.600% =100%

 

Som synes är den vänstra vägen extremt osannolikt, dvs att få 3 vinstlotter. Bara 0,0062%. Det verkar dessutom som om alla fall med exakt 2 vinstlotter har en sannolikhet på 0.196% så det finns tydligen en generell formel man kan använda. 

 

Och alla stigar utom den högraste ger minst en vinst så där kan man se varför 100%-85,6% ger "minst en vinst"

 

Zehra. Eftersom du har fuskat och läst ända hit kan du Googla fakultet (!) eller kolla din lärobok om du har missat det. Som du ser i figuren är det många talserier i stil med 100*99*98,  3*4*5  så nu har du äntligen användning för fakultet

https://sv.wikipedia.org/wiki/Fakultet_(matematik)

Edited by MH_
Link to comment
Share on other sites

5% av alla lotter är vinstlotter, dvs 5 st. Om du köper 5 st lotter är därför sannolikheten 5% för att du får MINST en vinstlott. Om du köper 3 lotter är sannolikheten 3% för att du får MINST en vinstlott.

 

Låter det inte konstigt om sannolikheten är 13,8% för att du får PRECIS EN vinstlott om du köper 3 st lotter? Det förefaller som om den sannolikheten bör understiga 3% när risken/sannolikheten för att få 2-3 vinstlotter beaktas. 2-3 vinstlotter godkänns ju inte i frågan.

 

Link to comment
Share on other sites

Hej.

Ditt grundantagande är fel.

Om det finns 5 vinstlotter bland 100 lotter så är chansen att vinna 5% om du köper en lott. Det är definitionen av sannolikhet.

Om du köper 3 lotter är chansen naturligtvis större att få minst en vinstlott. Annars skulle ju chansen att vinna på ett lotteri minska ju fler lotter man köper.

 

Om du bara får ha exakt en vinstlott så behöver du bara ta bort några extremt osannolika händelser.

3 Vinster (1 möjlighet, 0.006%) VVV 

2 vinster (3 möjligheter * 0.196%) VVN, VNV, NVV.

Så skillnaden mot minst en vinst blir ganska liten.

 

Om sannolikheten för vinst skulle vara större än 5% (typ 50%) så blir bilden annorlunda eftersom det är mer sannolika saker som skall räknas bort.

Och för Zehra's uppgift så finns det färdiga formler som förmodligen står i en lärobok eller formelsamling. Men jag antar att det är "tänket" som är problemet,  Inte formeln (sannolikhetslära kräver lite omprogrammering av hjärnan). Det är därför det är bra att börja med några rimlighets-skattningar så att i alla fall vet om man har använt helt fel formel.

 

Jag hatar för övrigt Födelsedagsparadoxen eftersom jag aldrig kommer ihåg hur man tänker, trots att det i princip är ganska likt det här lotteri/urnproblemet (i amerikanska exempel är det alltid kulor som skall dras från en urna eftersom "lottery" är mer associerat med någonting i stil med vårat Lotto ).

Link to comment
Share on other sites

Create an account or sign in to comment

You need to be a member in order to leave a comment

Create an account

Sign up for a new account in our community. It's easy!

Register a new account

Sign in

Already have an account? Sign in here.

Sign In Now
 Share



×
×
  • Create New...