Matematik D, 2 frågor

[Appe]

Hejsan håller på med lite övningsfrågor inför kommande prov i Matte D och skulle behöva hjälp.

 

Fråga 1

Visa att y = x * ln x är en lösning till differentialekvationen y` - (y/x) - 1 = 0

 

Fråga 2

Bestäm arean mellan funktionerna y = e^(2x) , y = 3e^x och y-axeln. Bestäm integrationsgränser

algebraiskt eller med lämplig numerisk metod.

 

Tacksam för svar!

[Monshi]

1: Klarar du av att derivera y = x * ln(x)

Ta hjälp av formelsamling

http://www.formelsamlingen.se/matematik/deriveringsregler-2

så ska du nog lyckas.

Tips: Produktregeln.

 

2: Kan du ta reda på gränsvärdena?

dvs lösa ut ekvationen e^(2x) = 3*e`x

Det är steg ett. Nästa steg är att integrera, klarar du det?

[Appe]

Jag vet inte om jag har gjort rätt då jag är lite kass på detta, men jag provar.

 

Fråga 1

y=x*lnx

y`=1 (eftersom derivatan av ln x är 1/x, sen multiplicerat med x = 1?)

VL=y`-(y/x)-1=-1+1=0

HL=0

HL=VL

Har jag gjort rätt?

 

Fråga 2

Jag vet inte riktigt hur jag ska göra för att få fram integrationsgränser.

[Monshi]

Nej, där gör du lite galet. Som sagt produktregeln

 

y = f(x)*g(x)

y´ = f´(x)*g(x) + f(x)*g´(x)

 

i detta fallet

f(x) = x

g(x) = ln(x)

f´(x) = 1

g´(x) = 1/x

y´= 1*ln(x) + x*1/x

 

är du med? Förstår du?

Sista steget, beviset klarar du själv

 

 

Fråga två

Om vi säger att

t= e*x

så får vi en funktion som ser ut

t^2 = 3*t

 

Kan du ur detta lösa ut t så kan du även få fram dina x-värden. Ena roten du får fram är falsk, vilken?

[Appe]

Hänger med på produktregeln nu, kollade lite i boken.

Boken jag har går igenom differentialekvationer väldigt dåligt.

y=x*lnx

y`=x*(1/x)+lnx*1

differentialekvationen y` - (y/x) - 1 = 0

VL=(x*(1/x)+lnx*1)-((x*lnx)/x)-1=0

HL=0

VL=HL=0

Rätt gjort?

 

Återkommer om fråga två

[Monshi]

Helt rätt.

[Appe]

Fråga två

Om vi säger att

t= e*x

så får vi en funktion som ser ut

t^2 = 3*t

 

Kan du ur detta lösa ut t så kan du även få fram dina x-värden. Ena roten du får fram är falsk, vilken?

Tack! Hänger med i differentialekvationer nu tror jag, boken går igenom allt så snabbt tycker jag..

 

Fråga 2

e^x=t

t^2=3*t

t^2-3*t =0

med pq får jag

t1=0,086 => e^0,086=1,0898

t2=2,914 => e^2,914=18,43

 

Skärningspunkten vet jag genom räknaren 1,0986 vilket motsvarar ungefär t1.

Vad representerar då t2? jag vet ju att y-kordinaterna vid x=1,0986 är y=9 vilket det ungefär blir om jag stoppar in t2 i t^2=3*t => 3^2=3*3 => 9=9. Sammanträffande?

Integrationsgränserna blir då y-axeln,alltså x=0 och x=1,1 (avrundat)

Rätt tänk allt detta?

Vidare sedan så vet jag inte helt 100 hur jag får fram en primitiva funktionerna av talen med e, men jag provar:

A= 1,1 integraltecken 0 (3e^x-(e^(2x))dx

[3e^x-((e^2x)/2)]

1,1=9-4,51=4,4999

0=3-0,5=2,5

4,499-2,5=1,999

Svar 1,999 a.e

 

Stämmer uträkningen? Vill du visa annars? Tämligen dålig på detta än.

[Monshi]

Nja, PQ behöver du inte använda men om du gör den rätt borde du fått samma resultat som jag nedan.

 

Du har

t^2 -3*t = 0

dvs

t*(t-3) = 0

 

Rot 1 blir då t= 0

Rot 2 t = 3

då t = e^x

ger att

e^x = 0

finns inte, en falsk rot

 

e^x = 3

ger

x = ln(3) ~= 1,0986

(förstår du hur?)

 

Nu har du en övre integrationsgränsen, den undre är given iochmed att arean gentemot y-axeln ska beräknas.

 

Kvar har du att räkna integralen. Eforum är uselt på att visa integraler men...

f(x) = e^(2x)

blir primitiva funktionen F(x) = 0,5*e^(2x)

g(x) = 3*e^x >= G(x) = 3*e^x

vilket är samma som du gjort.

 

Sådär, nu tror jag att jag gett dig allt, bara sista beräkningen kvar.

[Appe]

Hänger med nu.

Tack så mycket för hjälpen

[Monshi]

Lycka till.