Dimensionsanalys av logaritmer

[jeppe_1]

Hej!

 

Jag har fått en uppgift i att göra en dimensionsanalys av följande formel:

 

"Vid ljudutbredning i luft avtar ljudintensiteten I med avståndet r till ljudkällan som

 

I = (I₀ / r²) * e^-ar

 

Här ger a ett mått på ljudutvågens dämpning

 

a = 8pi² v² n/ (3c³ p)

 

Där v är ljudvågens frekvens, p luftens täthet, c ljudets utbredningshastighet"

 

Det man vill räkna ut är vilken dimension n ska ha utryckt i SI-enheter för att formeln ska stämma.

 

Problemet är att jag har hört att exponenter och logaritmer ska vara dimensionslösa. Men då blir I = I₀ / r² --> I = I/m² vilket inte stämmer pga att intensiteten divideras med r² på högerledet men inte vänster.

 

Och skulle exponenter kunna ha dimensioner så får jag att e^-ar = r²

 

vilket sedan blir

 

e^{(n s m3)/kg} = m²

 

(n s m³)/kg = ln( m² )

 

n = ln( m² ) * kg / ( s m³)

 

Ska exponenter och logaritmer vara dimensionslösa eller ska man svara med en dimmension utan eller med ln()?

 

Skulle behöva svar idag!

Mvh Jesper

[Pejo]

Hej,

 

Kanske försent att höra, men jag håller med dig. Exponenter ska vara dimensionslösa, dvs a ska ha dimensionen [m^-1]. Detta innebär också att l och l₀ inte kan ha samma dimension, men det behöver inte vara något problem. Ljudintensiteten l är angiven som något per area och vid sfärisk utbredning från en punktformig ljudkälla är det rimligt att arean ändras som r². Vid tidpunkten 0 är dock utbredningen lika med ljudkällan, dvs punktformig, och har således ingen area. Om du sätter r till 0 blir l inte heller l₀ utan oändlig. Du kan tänka dig l₀ som ett startvärde som sedan fördelas över en yta (samtidigt som det dämpas exponentiellt).

 

Hälsningar

/Johan

 

P.S Hurra för den nya redigeraren med ^upphöjd och _nedsänkt text. D.S

[jeppe_1]

Tackar! Ledsen för lite segt svar men det är som du säger dem ska vara dimensionslösa och dessutom fick ja reda på att I och I₀ inte behöver vara av samma dimensioner vilket förklarar saken och din förklaring verkar dessutom rimlig.