Areaproblem Matte D

[niclas_]

Hej, håller på med en redovisningsuppgift och känner inte att jag kommer någonstans.

Det är alltså från matte D och uppgiften går ut på att räkna ut sannolikheten för att en fallskärmshoppare landar inom ett visst område.

 

Jag har en kvadrat med sidan 1 km.

 

Från varje hörn ritas en kvartscirkel med radien 1 km.

 

När alla 4 kvartscirklarna är ritade har man 2 st ellipser som ett kors i kvadraten.Det kan jämföras med en blomma med 4 blad eller liknande.

 

Jag ska alltså försöka räkna ut arean av det stora området i mitten.

"Blomman" alltså.

 

Arean kvadraten = 1 km²

Aren varje kvartscirkel = pi/4 km²

 

Jag har provat att lösa det med ekvationer men jag har för många okända areor för att kunna komma någonstans.

Jag har även försökt att få fram någon av areorna med integraler men inte hittat någon funktion som motsvarar kvartcirklarnas linjer.

 

Nu har jag slut på idéer och skulle behöva en push i rätt riktning.

 

Tacksam för svar.

 

 

[Einar Zettergren]

Formeln för en cirkel är x^2 + y^2 = r^2

 

Med r = 1 så är y = sqrt (1 - x^2)

 

Tar du 0,5 km^2 och subtraherar integralen av ovanstående funktion från 0 <= x <= 0,5 och multiplicerar med åtta så får du ytan inom kvadraten men utanför "blomman". Tag sedan 1 - detta tal så har du arean.

 

1 - 8*(0,5 - integral(sqrt(1 - x^2); 0 <= x <= 0,5))) (* puh *)

 

Litet jobbigt att integrera kanske, men med variabelsubstitution går det.

 

[tjoppas]

Tjena!

 

Området som Einar vill beräkna går att lösa geometriskt. Tänk er en rektangel med sidorna 1 och 1/2. Lägg en cirkelsektor i triangeln med radie 1 och vinkel 30 grader. Detta kommer dela området i tre delar. Dels cirkelsektorn, dels en triangel och även det sökta området. Triangeln har arean sqrt(3)/8, eftersom hypotenusan är 1 och en kateter är 1/2 och triangeln är rätvinklig.

 

0,5 - integral(sqrt(1 - x^2); 0 <= x <= 0,5) blir alltså 1/2 - pi/12 - sqrt(3)/8.

[inlägget ändrat 2008-05-29 13:25:12 av tjoppas]

[niclas_]

Hej!

Jag har redan löst uppgiften men med en annan metod än vad ni föreslagit. Bifogar en bild på uppgiften.

Här kommer alltså ännu en lösning

 

Blå triangeln

1^2=0,5^2+(0,5+X)^2 (Pyth. sats halva gula triangeln)

X=(-0,5)+sqrt(0,75)

Arean = (X^2)/2

 

Gula triangeln

Liksidig med sidorna 1 km

 

Oranga triangeln

V2=45 grader (Diagonal i en kvadrat)

V1=60-V2=15 grader

Spetsiga vinkeln=2*V1=30 grader

Arean=1*1*sin(30)/2=0,25 (Areasatsen)

 

Cirkelsektorn (Oranga triangeln + resterande området utanför den blå triangeln)

Arean=1*1*pi*30/360=pi/12

 

Mittenområdet

Arean = 4(Blå triangel + Cirkelsektor - Orange triangel)

Arean = 0,315 km^2

 

[inlägget ändrat 2008-05-29 18:59:13 av niclas_]

[bild bifogad 2008-05-29 19:02:20 av niclas_]

[inlägget ändrat 2008-05-29 19:06:10 av niclas_]