Ytterligare ekvation med i

[KomodoM]

Hej, har en fråga till:)..

 

Ekvationen

 

(z+4i)^3–2(z+4i)+4=0

 

har roten z=1–3i. Bestäm ytterligare en rot till ekvationen. Ge ditt svar i formen z=a+ib , där a och b är reella tal.

 

Eftersom ekvationen inte har reella koefficienter så är inte 1+3i en rot.. Hur gör jag då för att få fram de övriga

 

[xandas]

Sätt w = z + 4i =>

 

w³ - 2w +4 = 0 OBS! bara reella koefficienter

 

z 1= 1 – 3i => w1 = 1 + i och w2 = 1 – i samt w1*w2 = 2

 

Vi vet också att w1*w2*w3 = 2*w3= -4 => w3 = -2

 

w1 = 1 + i => z1= 1 – 3i

w2 = 1 – i => z2 = 1 – 5i

w3 = -2 => z3 = -2 - 4i

 

 

 

[KomodoM]

Tack så mycket, snyggt:)

 

[Vanjis]

Det känns som jag borde kunna det här men jag är inte riktigt med på var för

Vi vet också att w1*w2*w3 = 2*w3= -4 => w3 = -2

 

Hur vet vi det?

 

[xandas]

Det vet vi därför att en ekvation som har rötterna z1, z2 och z3

kan skrivas som (z – z1)(z – z2)(z – z3) = 0.

 

Om parenteserna multipliceras ses att koefficienten för z³ är 1

och att den enda term som inte

innehåller z är – z1*– z2* – z3 = (- 1)³ * z1*z2*z3.

 

Detta kan generaliseras så att den term som inte innehåller z kan skrivas

(-1)^n*z1*z2*z3*……..*z(n – 1)*zn för ett polynom av n:te graden.