Ma C funktioner

[hejjdåå]

Tacksam för hjälp med dessa två uppgifter.

1.

Visa algebraiskt att funktionen f(x)=x^5+x^3+x alltid är växande.

 

(Jag vet inte rikitgt hur det ska bevisas men jag började med att derivera för att ta reda på nollställerna. Sen tänkte jag studera hur lutningen såg ut på båda sidorna om nollstället. Men jag fastnade redan efter derivatan dvs f'(x)=5x^4+3x^2+1. Hur går jag vidare?)

 

2.

En tråd är 30cm lång och klipps i två delar. Den ena formas till en cirkel och den andra till en kvadrat. Visa att cirkelns area+ kvadratens area alltid är större än 30cm^2 oavsett vart man än klipper.

 

(Jag vet inte hur jag ska beteckna de olika sakerna, kan någon hjälpa mig en lite bit på vägen iaf?)

 

[xandas]

1.

Visa algebraiskt att funktionen f(x)=x^5+x^3+x alltid är växande.

f'(x)=5x^4+3x^2+1. Hur går jag vidare?)

 

undersök om derivatan växlar tecken

 

om inte: är den <0 eller > 0

 

 

Jag vet inte hur jag ska beteckna de olika sakerna, kan någon hjälpa mig en lite bit på vägen iaf?

 

kalla delarna x och 30-x

 

 

[hejjdåå]

Xandas:

 

1.

Skall jag sätta derivatan till 0 för nollställerna? men jag vet inte hur jag löser 0=5x^4+3x^2+1?

hur gör man i sådana uppgifter generellt?

 

2.

Skall jag använda mig både av omkrets och area för cirkeln och kvadraten för att få ett uttryck som jag sedan deriverar?

 

Nya uppgifter:

 

3.

Funktionen f(x)= ax^3+bx^2+ cx+ d har maximipunkten (0,0). Grafen till funktionen går även genom (-1,-5). Betsäm funktionen minimipunkt.

 

Information vi får veta

f(0)=0

f'(0)=0

f(-1)=-5

 

0=0+0+0+d ger d=0

-5= a*(-1)^3+b*(-1)^2+c*(-1)+0

-5=-a+b-c

f'(0)=0 => c=0

sen då?

 

4.

funktionen f(x) uppfyller två vilkor:

5<f(2)<6

1<f '(x)<1,5

Mellan vilka värden kan f(6) ligga?

 

5.

Maja har lovat att betala 800kr till kajakföreningen varje år under 5år. Men hon vill istället betala ett engångbelopp vid första inbetalningen. Hur mycket bör hon då betala om man räknar med räntesatseb 4%?

 

På 4 och 5:an vet jag inte riktigt hur jag skall göra. Förklara genom de lite nogrannare. Jag har inget facit på 4:an så lös den rätt

 

[xandas]

1.

Det går att använda grafräknare för att ta reda på ekvationens rötter.

I det här fallet behövs det inte.

Alla x-termer är 0 eller > 0 och f'>0 för alla x

 

 

2.

Skall jag använda mig både av omkrets och area för cirkeln och kvadraten för att få ett uttryck som jag sedan deriverar?

 

Ja

 

3.

Funktionen f(x)= ax^3+bx^2+ cx+ d har maximipunkten (0,0). Grafen till funktionen går även genom (-1,-5). Betsäm funktionen minimipunkt.

 

Det verkar saknas information i uppgiften fyra obekanta (a,b,c,d) men bara tre punkter

är givna

 

 

4.

Rita upp ett koordinatsystem markera punkterna (2,5) och (2,6)

Derivatan är ju lutningen på linjen från givna punkter

Rita in dessa linjer så ser du vad f(6) kan variera mellan

 

5.

Efter 5 år är beloppet K som ges av

ett engångsbelopp med ränta eller

800 kr/år med ränta

 

 

 

 

 

 

[hejjdåå]

3. Jag kollade uppgiften igen och det saknades ingen info.

 

4. 1<f '(x)<1,5 Vad är lutningen? ska jag ta 0,5? lutningen är ju inte definerat för x=1 och x=1,5

 

5. Jag förstår forfarande inte vad som menas

 

[xandas]

3. Jag kollade uppgiften igen och det saknades ingen info.

 

Har i så fall ingen entydig lösning

 

4.

Lutningen är definierad för alla x men varierar mellan 1 och 1,5

Du kan dra två linjer från varje punkt

1. lutning = 1

2. lutning = 1,5

Vilka y-värden kan du då läsa av när x=6

 

5.

Vad 800 kr/år med ränta i 5 år blir kan du räkna ut

med en geometrisk serie

samma belopp ska fås med en insats idag och ränta på ränta.

 

 

 

 

[inlägget ändrat 2007-03-15 18:44:48 av xandas]

[hejjdåå]

Vart har alla Mattegenier på forumet tagit vägen?

 

[tjoppas]

3. Funktionen f(x)= ax^3+bx^2+ cx+ d har maximipunkten (0,0). Grafen till funktionen går även genom (-1,-5). Bestäm funktionen minimipunkt.

Du har börjat helt rätt med att konstatera att c=d=0. Detta ger:

 

f(x) = ax^3 + bx^2

f'(x) = 3ax^2 + 2bx

 

Genom att sätta f'x=0 får man två lösningar x=0 och x=2b/3a.

Minpunkten finns i den senare av dem.

 

[hejjdåå]

2.

Omkrets för cirkeln

O=2*pi*r

O=30-x

 

30-x=2*pi*r

r=(30-x)/(2*pi)

 

Arean för cirkeln

A=pi*r^2

A=pi*((30-x)/(2*pi))^2=efter förenklingar=(1/(4*pi))*x^2-(15/pi)*x+(225/pi)

 

 

Omkretsen för kvadraten

O=x (Jag kallade omkresten för cirkeln 30-x så för kvadraten blir det x)

O=4s (fyra sidor,s)

 

s=x/4

 

Arean för kvadraten

A=s*s

A=(x/4)*(x/4)=x^2/16

 

A(total)=(1/(4*pi))*x^2-(15/pi)*x+(225/pi)+(x^2/16) efter förenkling ger:

 

A'(total)= ((4+h)x^2)/(16*pi)- (15/4)x+ 225/pi

 

sätter sedan derivatan till 0 och får 120/(4+pi)

 

När jag sätter in det i funktionen så ger det ett negativt värde, vilket blir knas. Spelar det någon roll hur man har användt 30-x och x? för jag använde 30-x till omkretsen, ska det vara tvärtom? Hur fortsätter jag?

Om det är någor steg som är oklart så fråga mig. tack för att ni orkar gå igenom det jag har skrivit.

 

 

3.va konstigt, i facit står det att min punkten ska vara (1-1). Hur får de till det? eller det det fel?

 

 

 

4. 12<y<9 stämmer det? jag saknar facit

 

[inlägget ändrat 2007-03-17 00:56:31 av hejjdåå]

[tjoppas]

2. Jag provade att stoppa in 120/(4+pi) i ekvationen och fick 31,5. Jag provade även på andra hållet att sätta omkretsen på cirkeln till x och kvadratens omkrets till 30-x och fick föga förvånande 31,5 i minsta area. Eftersom areafunktionens andraderivata är större än noll erhålls ett lokalt minima. Arean blir alltså inte mindre än 31,5.

 

3. Jag får titta på det lite nogrannare.

 

4. Ja det stämmer fast du ska ha > i stället för <. Eller om du skriver den lägsta siffran först. 9<y<12.

 

[hejjdåå]

4. Hur kommer det sig att det jag skrev är fel?

 

[tjoppas]

Uttrycket 12<y<9 är ju egentligen två olikheter, y större än 12 och y mindre än 9. Men det är ju tvärtom som är svaret, y ska vara större än 9 och mindre än 12, alltså 9<y<12.

 

[hejjdåå]

hur går det med 3:an??

 

[Anjuna Moon]

hur går det med 3:an??

Tjoppas hade ett litet teckenfel där.

Eftersom minimit fås ur 3ax+2b=0 eller (eftersom b=a-5) 3ax+2a-10=0

så har du att a=10/(3x+2). Jag förutsätter att a,b,c och d ska vara heltal och det enda värdet på x (där x > 0) i 10/(3x+2) som ger ett heltal är 1.

Således är a=2 och b=-3.

 

y-punkten borde du väl ändå kunna hitta själva nu =)

 

Rättelse: Även x=8/3 ger ett heltalsvärde på a, men då blir y''(x)=0 vilket inte är ett minimum

[inlägget ändrat 2007-03-17 19:17:20 av Anjuna Moon]

[hejjdåå]

6.

Grafen visar derivatan till tredjegradsfunktionen f(x)=ax^3+bx^2+cx+d

Ge exempel på en funktion som passar till derivatans grafer.

 

I facit står det att t.ex. f(x)=(1/3)x^3- (1/2)x^2-2x. Hur kan man komma fram till det utifrån grafen?

 

 

 

[inlägget ändrat 2007-03-17 23:06:27 av hejjdåå]

[Anjuna Moon]

Är det polynomfunktionen jag ska hitta?

f ' (x)=3ax²+2bx+c

f ' (0) = 1 ger c=1

f ' (1) = 0 ger 3a+2b=-1

f ' (2) = 1 ger 12a+4b=0

 

Nu har du c och ett ekv.system för a och b. Lös det så har du polynomfunktionen de frågar efter.

 

I facit står det att t.ex. f(x)=(1/3)x^3- (1/2)x^2-2x.

Hmmm, jag förstår inte hur de kan få derivatan till en tredjegradsfunktion.

[inlägget ändrat 2007-03-17 23:13:40 av Anjuna Moon]

[hejjdåå]

6.

f' (0)=1 avläste du det från grafen? för jag får f'(0)=-2. om det du har gjort stämmer får du förklara lite.

 

 

varför de får derivatan till en tredjegradsfunktion är att på bilden visar de en andragradsekvation. eller du kanske menade något annat?

 

 

3.

Tjoppas:

"Du har börjat helt rätt med att konstatera att c=d=0. Detta ger:

 

f(x) = ax^3 + bx^2

f'(x) = 3ax^2 + 2bx"

 

 

Anjuna:

Tjoppas hade ett litet teckenfel där.

Eftersom minimit fås ur 3ax+2b=0 eller (eftersom b=a-5) 3ax+2a-10=0

så har du att a=10/(3x+2). Jag förutsätter att a,b,c och d ska vara heltal och det enda värdet på x (där x > 0) i 10/(3x+2) som ger ett heltal är 1.

Således är a=2 och b=-3.

 

y-punkten borde du väl ändå kunna hitta själva nu =)

 

Rättelse: Även x=8/3 ger ett heltalsvärde på a, men då blir y''(x)=0 vilket inte är ett minimum

 

 

Tjoppas skrev f'(x) = 3ax^2 + 2bx obs! 3ax^2 tvåan i kvadrat

 

Medan Anjuna talar om 3ax+2b utan tvåan. Blir det rätt ändå?

 

[inlägget ändrat 2007-03-18 00:29:42 av hejjdåå]

[inlägget ändrat 2007-03-18 00:30:47 av hejjdåå]

[Anjuna Moon]

Uppgift 6:

f' (0)=1 avläste du det från grafen?

Ja, fast bilden du postade var väääldigt suddig och svårtydbar. Jag tyckte det såg ut som ettor utmarkerade på både x- och y-axeln.

 

varför de får derivatan till en tredjegradsfunktion är att på bilden visar de en andragradsekvation.

Men grafen på bilden visar väl ändå derivatan (en andragradsekvation) av f(x) och det är väl denna graf man skall bestämma en formel åt. Eller?

 

Uppgift 3:

Tjoppas skrev f'(x) = 3ax^2 + 2bx obs! 3ax^2 tvåan i kvadrat

Medan Anjuna talar om 3ax+2b utan tvåan. Blir det rätt ändå?

Jo, alltså - derivatan är mycket riktigt så som tjoppas skrev. Denna kan även skrivas om som x(3ax+2b).

Eftersom vi letar efter ett minimum skall derivatan vara noll, dvs.

x(3ax+2b)=0

Denna ekv. har två lösningar. Den som jag beskrev samt x=0 (som ju är x-koordinaten för redan givna maximipunkt och denna är vi ju inte intresserade av längre)

 

[xandas]

6.

I facit står det att t.ex. f(x)=(1/3)x^3- (1/2)x^2-2x. Hur kan man komma fram till det utifrån grafen?

 

Det går inte.

 

Ur grafen ses att f' har en dubbelrot då x=1 och att f'(0)=1 =>

 

f'=(x-1)^2 och f(x)=x^3/3-x^2+x + C

 

 

 

 

 

 

[tjoppas]

Snygg lösning Anjuna!

 

Jo det gick nog lite väl snabbt där vilket resulterade i teckenfelet. Jag gillar lösningen med att anta att a, b, c, d är heltal. Ska försöka komma ihåg det i fortsatta problemlösning i matte. Du får en poäng av mig för det.

 

[tjoppas]

xandas skrev:

Ur grafen ses att f' har en dubbelrot då x=1 och att f'(0)=1 =>

 

f'=(x-1)^2 och f(x)=x^3/3-x^2+x + C

Jag håller med xandas.

 

[Anjuna Moon]

Jag gillar lösningen med att anta att a, b, c, d är heltal. Ska försöka komma ihåg det i fortsatta problemlösning i matte. Du får en poäng av mig för det.

Tackar!

Rent formellt skulle man ju förstås få underkänt på en tenta (för att inte nämna verkliga livet) om man gör detta antagande utan att det givits i frågeställningen. Men när det gör det så är det ju alltid värt att titta på om det går att utnyttja. Tack för poängen!

 

[hejjdåå]

Ja, fast bilden du postade var väääldigt suddig och svårtydbar. Jag tyckte det såg ut som ettor utmarkerade på både x- och y-axeln.

 

Jag ber om ursäkt för det där. Du hade helt rätt. Jag bifogade bilden för a uppgiften och sedan en för b uppgiften. Men a uppgiftens bild raderades då b uppg. bild bifogades. Så jag trodde att du höll på med a-uppgiften. Sedan tycker jag att bilden inte är så suddig Kanterna ser bara lite hemska ut, var tvungen att skära ner för att få plats med den.

 

Jag förstod äntligen uppgift 6 nu, tack!!

 

Du får en poäng av mig för det.

Alla som har hjälpt mig har faktiskt förtjänat varsitt poäng.

 

5.

Maja har lovat att betala 800kr till kajakföreningen varje år under 5år. Men hon vill istället betala ett engångbelopp vid första inbetalningen. Hur mycket bör hon då betala om man räknar med räntesatseb 4%?

 

Xandas:

Vad 800 kr/år med ränta i 5 år blir kan du räkna ut

med en geometrisk serie

samma belopp ska fås med en insats idag och ränta på ränta.

 

Jag tittade på uppgiften igen men förstod den fortfarande inte. Skulle någon kunna förklara lite mer. Jag skäms nästan för att jag är så trög

 

 

7. Den bilden jag bifogade. visar derivatan som jag sade. Nu ska jag skissa f(x) dvs funktionen. den ser ut på följande sätt, se bifogad bild på detta inlägg. obs. bild b.

Jag undrar varför Bild C se nästa inlägg går genom origo och inte bild B. Hur kan man avläsa det från derivatans graf?

[inlägget ändrat 2007-03-18 22:26:30 av hejjdåå]

[bild bifogad 2007-03-18 22:29:54 av hejjdåå]

[hejjdåå]

Bifogad Bild C i detta inlägg.

teckenväxlingen för för bild c är +0+ liksom för Bild c. Men bild c har en dubbelrot i x=1 och bild c saknar nollställen. Så mycket har jag kommit på.

 

[bild bifogad 2007-03-18 22:39:08 av hejjdåå]

[hejjdåå]

Hjäälpp det är ganska bråttom!!!!