max/min

[cemme]

hur gör jag för att hitta max å min till f(x,y) = (2yx^2 - xy^2) / (3 + x^4) i området {(x,y) | -2x <= y <= 2x}?

 

[abnilsson]

Det är tre typer av punkter man måste undersöka, precis som för funktioner av en variabel.

 

1. Kritiska punkter, dvs de där gradienten är noll.

2. Singulära punkter, dvs de där gradienten inte existerar.

3. Randpunkter.

 

Vi kan börja med de kritiska punkterna. Vi måsta alltså beräkna derivatorna av f med avseende på x och y. Det är lättast att börja derivera med avseende på y. Om vi sätter denna derivata lika med noll får vi att antingen är x=0 eller x=y. Om det finns kritiska punkter så måste de alltså uppfylla någon av dessa ekvationer. Det kan vi utnyttja när vi tittar på derivatan av f med avseende på x. Det är ju inte så lätt hitta alla nollställen till denna derivata, men om vi sätter x=0 så ger y=0 ett nollställe. Alltså, (0,0) är en kritisk punkt till f (och ligger i det aktuella området). Om vi sätter x=y i derivatan av f med avseende på x, och sätter detta uttryck lika med noll, så får vi ytterligare nollställen. Detta ger fler kritiska punkter.

 

Singulära punkter finns ej eftersom 3+x^4 aldrig kan bli 0.

 

Randpunkter. Sätt in y=2x i funktionen f så ser vi att f=0. På denna del av randen är alltså funktionen lika med 0. Sätt sen y=-2x i funktionen f, så får du en funktion av en variabel. Leta max och min genom att derivera och leta nollställen osv...

 

Sen jämför man bara alla max och min med de kritiska punkterna. Det är en himla massa jobb, men om man är envis så går det nog...

 

[inlägget ändrat 2007-02-27 12:35:48 av abnilsson]

[cemme]

Hej!

 

Tack för hjälpen, gjorde att en del klarnade :-)

 

Men nu när jag har ett par funktionsvärden (0, +/- sqrt(3)/4, +/- 2*sqrt(3)) hur vet jag att de senare faktiskt är de största och minsta värdena? För är inte sådant nått man bara kan sluta sig till då ens område är kompakt, och det är det ju inte i detta fallet?

 

Om jag plottar funktionen så ser det ju dessutom ut som att värdena den tar går ut i oändligheten. Är värdena jag fann lokala max/min?

 

[abnilsson]

Jag glömde att området inte är kompakt, sorry.

 

Vi kan göra så här istället:

 

Betrakta funktionen längs linjerna y=kx, där k ligger mellan -2 och 2. Då får vi med hela området, varken mer eller mindre. Då har vi

 

f(x,kx)= k(2-k) * x^3/(3+x^4)

 

För varje fixerat k-värde så är det ju enkelt att ta reda på max och min av ovanstående funktion. Det är ju bara att betrakta funktionen som en funktion av x och derivera på vanligt sätt. Vi får tre nollställen för derivatan, x=0, x=sqrt(3) och x=-sqrt(3).

Vi får att maximum av x^3/(3+x^4) är sqrt(3)/4 och minimum är -sqrt(3)/4.

 

Sedan kan vi betrakta uttrycket k(2-k). Maximum är 1, och uppnås då k=1. Minimum är -8 och uppnås då k=-2.

 

Funktionen f(x,y) har alltså slutligen sitt maximum 2sqrt(3) som uppnås då x=-sqrt(3) och y=kx där k=-2, dvs y=2sqrt(3).

Funktionen f(x,y) har sitt minimum -2sqrt(3) som uppnås då x=sqrt(3) och y=kx där k=-2, dvs y=-2sqrt(3).

 

[cemme]

ahhh, smart! :-) thx