separabla variabler

[Peep]

hur löser man uppg

 

y'=e^(y+x)

 

förstår inte riktigt hur man ska tänka när man har e

 

 

 

[abnilsson]

Hej.

Det var ganska länge sen jag höll på med diffekvationer, men var det inte så att man skriver y' som dy/dx, och sen flyttar man över alla x på ena sidan och alla y på andra? Alltså, dy/dx = e^(y+x) => e^(-y) dy = e^x dx. Sen integrerar man bara vänster och höger led.

 

-e^(-y) = e^x + C

 

Om vi nu löser ut y ur detta så har vi lösningen.

 

[Peep]

Tack för hjälpen det är e när jag ser den blockeras min hjärna.... hatar e :-(

 

har en till

 

x^2y (dy/dx)=1+x^2

 

[abnilsson]

Synd att e väcker såna starka känslor, det är ju bara ett helt vanligt tal precis som alla andra.

 

Och så till ekvationen... hmmm... det är ju lite klurigt att skriva matematik så att det inte uppstår tvetydigheter. Man kan ju tolka x^2y på två olika sätt. Jag antar att du inte vill ha y i exponenten, så min tolkning är (x^2)y.

Sen skriver vi om ekvationen genom att dividera med x^2, och får då

 

y dy = 1/(x^2)+1 dx

 

och så integrerar vi. I vänsterledet får vi (y^2)/2, och i högerledet får vi x-(1/x) plus en integrationskonstant. Sen löser man ut y...

 

[Peep]

Tack nu börjar det lossna

 

Nu har jag fastnat på en annan uppgift hoppas nån kan hjälpa mig att lösa den

 

y'' + 2y + y = x(e^-x) + 1 y(0)=y'(0)

 

Har löst den homogena ekvationen vilken jag fick till yh= e^-x

 

Men den partikulära delen får jag aldrig rätt på det e talet e igen :@

 

jag tror at man ska dela upp partikulärdelen i två delar yp1=1 och yp2=xe^-x... men sen vet jag inte hur man går vidare... hoppas nån kan hjälpa mig....

 

[abnilsson]

Ok, då ska vi se här... jag är lite osäker, men jag kanske kan hjälpa till lite grann.

Visst är det väl så att den allmänna lösningen till den homogena ekvationen

 

y''+2y'+y=0

 

är y=(c1+c2x)e^(-x), där c1 och c2 är konstanter? Det gäller då att få fram en partikulärlösning, och det tror jag att man kan göra på lite olika sätt. Ett sätt är att dela upp den ursprungliga ekvationen i två, dels y''+2y'+y=1 som har en trivial partikulärlösning y=1, och dels y''+2y'+y=xe^(-x) som är lite svårare att hantera. Man kan anta att y=ve^(-x) för någon funktion v, och räknar man lite på det får man v=(x^3)/6+cx+d där c och d är konstanter.

En partikulärlösning till den ursprungliga ekvationen bör alltså vara summan av de två partikulärlösningarna, dvs y=((x^3)/6+cx+d)e^(-x)+1

Sen har vi dessutom villkoret y(0)=y'(0), och det kan man använda för att eliminera en del konstanter, men så vitt jag kan se får man kvar en konstant i lösningen.

Jag fick lösningen

 

y=(k+(2k+1)x+(x^3)/6)e^(-x) + 1, där k är en konstant.

 

[Peep]

Svaret ska bli

 

y = (e^-x)((x^3/6)-x-1)+1

 

Jag får den homogena ekv till yh= (Ax+B)e^-x

 

Men förstår fortfarande inte hur man finner partikulärlösningen av x(e^-x)

 

Det står i boken att man ska införa funktionen z = z (x)

 

y = z(e^-x)

y'= (e^-x) (z'-z)

y''= (e^-x) (z''-2z'+z)

 

man får då z'' + z' = x

 

z=x(Ax+ = (Ax^2) + Bx

 

A=(1/2)

B=-1

 

yp=((1/2)(x^2)-x)(e^-x)

 

y = (Ax + B + (1/2)(x^2)-x)(e^-x)

 

sen kommer jag inte vidare vad gör jag för fel????

 

 

[abnilsson]

Ok... Min lösning innehåller en konstant k, och om jag inte har räknat helt fel så kan k vara vilket tal som helst. Det blir ändå en lösning till det givna problemet. Det kanske var något ytterligare villkor i uppgiften som du utelämnade, som gör att k måste vara -1?

 

Om man tar min allmänna lösning och sätter k=-1 så får man nämligen det svaret du ger:

 

y = (e^-x)((x^3/6)-x-1)+1

 

 

Sen var det problemet med partikulärlösningen för y''+2y'+y= xe^(-x).

Jag föreslog i mitt förra svar att man kan anta att y=ve^(-x) för någon funktion v, och det är ju precis vad du har gjort fast du kallar v för z. Sen har du korrekta derivator

 

y = z(e^-x)

y'= (e^-x) (z'-z)

y''= (e^-x) (z''-2z'+z)

 

... men vad händer sen? Vi ska ju sätta in detta i ekvationen y''+2y'+y=xe^(-x), och om man räknar rätt får man

 

e^(-x) z'' = xe^(-x), dvs z''=x. Det betyder att z=(x^3)/6+Cx+D där C och D är konstanter. Sen är det bara att ställa upp den allmänna lösningen och utnyttja y'(0)=y(0)......

 

 

[Peep]

Äntligen har jag förstått detta... tack så jätte mycket för hjälpen... det var jättesnällt att någon kunde ställa upp och hjälpa mig lösa dessa uppgifter annars vet jag inte vad jag hade gjort...

 

Nu går jag över till kapitel som handlar om Mclaurins och taylors formler...

 

[abnilsson]

Det är bara trevligt att kunna hjälpa till...