Hjälp med Diffrentialekvations-problem

[Fibbla]

Funderar lite över hur man skall lösa följande problem:

 

En bassäng har formen av den yta som bildas då y=x^2 roterar kring y-axeln. Vi antar att längdenheten på koordinataxlarna är meter och att y-axeln pekar uppåt.

 

1. Beräkna vattenvolymen då bassängen fylls till ett djup av t meter.

 

2. Man börjar fylla på den tomma bassängen med den konstanta hastigheten 1m^3/s. På grund av avdunstning stabiliserar sig vattenvolymen på 4 m^3, dvs då vattnets volym är 4 m^3 är avdunstningen 1 m^3/h. Vid vilken tidpunkt är vattnets volym 2m^3? Man kan anta att avdunstningen är proportionell mot vattenytans area.

 

Någon som kan ge ett lättförståeligt lösningsförslag? jag kommer ingen vart..

 

[Pejo]

Hej,

 

Som vanligt tar jag inget som helst ansvar för eventuella fel, eftersom det är över tio år sedan jag höll på med sådana här beräkningar, men så här tror jag att du kan göra.

 

1.

Rotationssymmetri är alltid trevligt ...

Volymen av bassängen kan ses som ett antal runda skivor med olika radier staplade på varandra. Om skivornas tjocklek är tillräckligt liten (dh) kan volymen av en skiva skrivas som

dV = pi*r(h)^2*dh

där skivans radie r(h) beror av höjden h.

 

Totala volymen när höjden är t blir då

V = integralen(0 till t){pi*r(h)^2*dh}

Tack vare ytans form (y=x^2) finns också ett enkelt samband mellan r och h, dvs r kan skrivas som en enkel funktion av h.

 

2.

Ändringen av volymen i tiden ges av inflöde minus utflöde:

V' = P - S(t)

Inflödet P är konstant medan avdunstning beror av vattenytan, vilken ändras med tiden.

S(t) = k*A(t) = k*pi*r(t)^2

Ifrån uppgift 1 har du ett samband mellan r och h som är oberoende av t. Du har även en formel för V(h), som inte heller beror av t, och kan alltså skriva om r(t) som V(t). Slutresultatet blir någonting i stil med:

V' = P - k*pi*{någon funktion av V(t)}

Förhoppningvis blir det en "snäll" differentialekvation och eventuella konstanter fås av startvillkor V(0) = 0, samt V'(vid tiden då V(t)=4)) = 0

 

mvh

/Johan