Lite Fibonacci problem

[PatrikA]

Haller pa med en uppgift dar jag ska fa fram en direkt formel for Fibonacci-sekvensen (1,1,2,3,5,8,13,21 osv) som jag ska kunna anvanda i tex ett excel formular for att lista de 20 forsta talen, att gora det utan formel ar ju enkelt men det ar att ta fram formeln som ar uppgiften.

 

Har fatt fram de tva rotterna.

1: (1+sqrt(5))/2

2: (1-sqrt(5))/2

 

Formeln lyder ju Fn = C + D dar C ar rot 1 och D rot 2.

 

F_0 = 1 = C(((1+sqrt(5))/2)^0 + D(((1-sqrt(5))/2)^0 = C * 1 + D * 1 = C + D

och for F_1

F_1 = 1 = C(((1+sqrt(5))/2)^1 + D(((1-sqrt(5))/2)^1

=

C(((1+sqrt(5))/2) + D(((1-sqrt(5))/2)

 

Problemet jag har att hitta vardet for C och D, jag vet att det ska ga men jag kommer inte pa hur. :/

 

[Anjuna Moon]

Tja, det är ju litet ekv.system som skall lösas. För tydlighetens skull ersätter jag sqrt(5) med X nedan

 

1: C+D=1 => C=1-D

2: C((1+X)/2) + D((1-X)/2)=1

 

Utveckling av (2):

(C+CX)/2+(D-DX)/2=1

C+CX+D-DX=2

[Enligt (1) är C+D=1]

CX-DX+1=2

X(C-D)=1

C-D=1/X

C=D+1/x

 

Kombinering av (1) och (2)

 

1-D=D+1/X

1-1/x=2D

D=(1-1/X)/2 dvs

 

D=(1-1/(sqrt(5))/2

 

Nu har du D och då får du lätt ut C ur (1)

 

 

[PatrikA]

Men jag far inte ut ratt varde i excel nar jag kor formeln.

pa vanstra kolumnen listar jag vardena 1-20 (har namngett den till n). Pa hogra skriver jag formeln men det stammer inte. Jag masta fa in att formeln forhaller sig till n nanstans men jag har fastnat totalt.

 

[Vanjis]

Felet ligger i att F0=0 och inte 1. Det ger C=1/(sqrt5) och D=-C. Formeln blir då

Fn=1/(sqrt5)*[((1+sqrt5)/2)^n - ((1-sqrt5)/2)^n]

[inlägget ändrat 2005-10-22 13:52:37 av Vanjis]

[PatrikA]

Jo helt korrekt, jag ar lite seg idag hehe.

Sa har ser det ut nu:

C=(1-(1-1/(SQRT(5))/2))

D=(1-1/(SQRT(5))/2)

 

Formeln ser som foljande ut i excel:

 

C*((1+SQRT(5))/2)^n + D*((1-SQRT(5))/2)^n

Men den funkar inte heller.

 

Man kan sakert halla pa och forenkla osv men jag ar ratt dalig pa det.

 

[PatrikA]

Nej det dar blev inte heller riktigt... :/

 

[Vanjis]

Har du läst mitt uppdaterade inlägg?

Fn=1/(sqrt5)*[((1+sqrt5)/2)^n - ((1-sqrt5)/2)^n]

Det är förenklat så långt det går. Det ska vara rätt.

Edit: Serien är alltså: 0 1 1 2 3 5...

[inlägget ändrat 2005-10-22 14:18:29 av Vanjis]

[Anjuna Moon]

Nej det dar blev inte heller riktigt...

Bara för att kontrollera att du använt formeln korrekt i Excel, pröva att plocka bort konstanterna ur formeln. Då ska du få ut en sk. Lucas-serie istället, vilket börjar som 1, 3, 4, 7, 11, 18, 29, 47, 76, 123

 

EDIT: Med början på n=1

 

(dvs. som formeln enl. bifogad bild)

 

[bild bifogad 2005-10-22 14:18:09 av Anjuna Moon]

[inlägget ändrat 2005-10-22 14:19:24 av Anjuna Moon]

[PatrikA]

Ja, det fungerade! Jag hade missat en parentes. Tack sa mycket for all hjalp bagge tva!

 

[Anjuna Moon]

Ja, det fungerade! Jag hade missat en parentes.

Jo, det där med parenteser är nog så viktigt =)

(fråga bara en LISP-programmerare

 

[PatrikA]

Skulle du inte kunna andra Anjunas inlagg med hela steg for steg processen fast med F0 = 0, jag vill garna forsta hela processen men far fel nar jag forsoker sjalv

Poang utlovas saklart!

 

[Anjuna Moon]

Skulle du inte kunna andra Anjunas inlagg

Ändrade det själv:

 

1: C+D=0 => C=-D

2: C((1+X)/2) + D((1-X)/2)=1

 

Utveckling av (2):

(C+CX)/2+(D-DX)/2=1

C+CX+D-DX=2

[Enligt (1) är C+D=0]

CX-DX=2

X(C-D)=2

C-D=2/X

C=D+2/x

 

Kombinering av (1) och (2)

 

-D=D+2/X

-2/x=2D

D=-1/X

 

dvs

 

D=-1/(sqrt(5)

 

[Vanjis]

Från ditt första inlägg:

 

F_0 = 1 = C(((1+sqrt(5))/2)^0 + D(((1-sqrt(5))/2)^0 = C * 1 + D * 1 = C + D

och for F_1

F_1 = 1 = C(((1+sqrt(5))/2)^1 + D(((1-sqrt(5))/2)^1

=

C(((1+sqrt(5))/2) + D(((1-sqrt(5))/2)

 

Det enda som ändras är F0=0, dvs C+D=0 => D=-C från första ekvationen.

 

Den andra blir då (det är enkelt om du skriver upp det som bråk):

 

C((1+sqrt5)/2) - C((1-sqrt5)/2) = 1 =>

C/2*( 1+sqrt5 - (1-sqrt5) ) = 1 =>

C/2*(2*sqrt5) = 1 =>

C*sqrt5 = 1 =>

 

C=1/sqrt5

D=-C = -1/sqrt5

 

Nu har du C och D som sätts in i:

Fn=C*((1+sqrt5)/2)^n + D((1-sqrt5)/2)^n =

1/sqrt5*[((1+sqrt5)/2)^n - ((1-sqrt5)/2)^n]

 

Är du med?

 

Edit:

aha, Anjuna Moon hann före...

[inlägget ändrat 2005-10-24 11:50:53 av Vanjis]

[KGHKGH]

hejsan!

har bra läst första inlägget så ursäkta om jag säger något som redans sagt eller så.

 

har för mig att min lärare sa att formeln för fibonaccis talföljd såg ut så här:

 

a((nedsänkt)n+2)=a((nedsänkt)n+1)+a((nedsänkt)n) a1=1 och a2=1