3 kluriga problem

[Jerry80]

1. Lös fullständigt ekvationerna

(a) sinxcosx = 1/4

 

( sin³x = 3sinx

 

© 2sin³x = sinx

 

2. Bestäm tangentlinjen och normallinjen till kurvan

y = x/x²+1 , i den punkt där x = 2

 

3. Låt f och g vara två funktioner som har tredjederivator, och sätt F = f o g, dvs. F(x) = f (g(x)). Bestäm F'' och F''', uttryckt i derivator av f och g.

 

 

Är det nån som vågar ta sig an dessa klurigheter =)! jag och en polare har suttit 2 kvällar o klurat o klurat! desvärre utan nån vidare koll på om vi har kommit fram till rätt svar.

 

mvh/Jerry

 

[Vanjis]

1a) Här behöver du veta att sin(2x) = 2sinxcosx, dvs

sinxcosx = 1/2*sin(2x) = 1/4

 

dela med sinx ger sin^2(x) = 3 => sinx = +-sqrt(3)

 

c) som i b

 

Tänk på att lösningarna till:

sinx=a är x=arcsin(a)+2n*180 och 180-arcsin(a)+2n*180

cosx=a är x=+-arccos(a)+2n*180

om givet i grader.

 

2. gör om till y = 1/x+1

tangentens ekvation fås med yt-y0 = y'(x0)*(x-x0)

y'(x) = -1/(x^2) => y'(2) = -1/4

 

x0=2

y0=y(2)=3/2

yt=ytangent

 

yt-3/2 = -1/4*(x-2) => yt(x) = -1/4x+2

lutningen = k = -1/4

 

Normalens ekvation är vinkelrät med lutning l så att k*l=-1, dvs

l = 4.

yn(x) = 4x+n (som kx+m). yn(2) = 3/2 eftersom gemensam punkt. Detta ger n=-13/2 så att

yn(x) = 4x-13/2

 

3. Här gäller att hålla reda på inre derivatan och derivatan av en produkt. Inre derivatan används eftersom f är en funktion av en funktion av x så att:

F'(x) = f'(g(x))*g'(x)

I nästa steg måste även derivatan av en produkt användas:

F''(x) = f''(g(x))*g'(x)*g'(x)+f'(g(x))*g''(x)

Fortsätt på samma sätt för att få F'''(x), tänk på att derivatan av

g'(x)*g'(x) är 2*g''(x)*g'(x).

 

[Einar Zettergren]

Betr 1b och 1c, glöm inte att sin(x) = 0 också ger en lösning (x = 0 + n*pi, n = heltal). Lätt att glömma om man "bara" dividerar bort sin(x). Det skulle ju vara fullständigt...

 

För 1b är detta dessutom enda lösningen, eftersom sqrt(3)>1 och abs(sin(x))<=1.

[inlägget ändrat 2005-10-13 08:39:58 av Einar Zettergren]

[Vanjis]

Det har du rätt i. Glömde bort sinx=0.