Ngt snille som kan lösa detta lilla mattetal

[mimaca]

Här är ett mattetal som jag försökt att lösa, men jag kan inte "knyta ihop säcken" .

 

Problem:

--------------------------------------------------------------------------------

Ett elstiskt snöre (ES) men längdenheten (le ) 1m är fäst i en vägg (punkt A)

Vid starttillfället är ES utdraget så att det precis utgör sin längd dvs 1m. Det ES har egenskaper så att då detta dras ut blir förlängningen jämt fördelad över hela sin längd.

 

Nu är det så att vid punkten A står en myra som vill komma till slutet av ES (punkt men för varje cm som myran går från A-->B ökas det ES längd med 1 m. Frågan är... kommer myran någonsin till punkt B om så är fallet hur lång tid tar det för myran att ta sig till punkt B.

 

Vid första tanken låter det som att faktorn som ES ökar med är många faktorer större så att myran aldrig kommer fram, men myrans position är en summa av både förändringen av ES längd samt sin egna förflyttning (1 cm). Då myran passerat mitten av det ES kommer förlängningen av det ES påverka myran mindre då den största delen av förlängningen sker bakom (mot punkt A) myran.

 

Så är det ngn som kan hjälpa mig att lösa detta lilla tal?

 

/MiMaCa

 

[erik6]

Om det är ett elastiskt snöre så räcker det att myran går 1m för att nå B.

Snöret förlängs ju hela tiden bakom myran (inga snören förlängs utanför de punkter som snöret sträcks mellan, i detta fall A resp punkten där myran hänger.).

När myran nått B har snöret längden 100m.

 

[Einar Zettergren]

Vi antar att myran rör sig med konstant hastighet 1 cm/s.

 

ES totala längd som funktion av tiden är då L = 100 + 100*t uttryckt i cm.

 

Myrans läge som funktion av tiden, y(t), beror på myrans hastighet och snörets elasticitet. Så ES förlängs med 100 cm/s, varav förlängningen bakom myran beror på hur långt myran kommit i förhållande till den totala längden. Hastigheten relativt A blir då

 

y'(t) = 1 + 100*y(t)/L = 1 + 100*y(t)/(100 + 100*t) = 1 + y(t)/(1 + t)

 

Randvillkor y´(0) = 1 och y(0) = 0.

 

En nätt liten differentialekvation att bita i. När den väl är löst kan man beräkna när (om) y = L. Nu var det dock en stund sedan jag satt och differentierade... någon annan hugad?

 

[Vanjis]

Kul problem!

 

Tyvärr har jag inte tid att gå in så jättedjupt men jag har kommit fram till lite grann. Einar verkar vara inne på något bra men det här är ett annat sätt att se på det...

 

L(n)=snörets längd efter n steg

 

l(n)=myrans avstånd till A efter n steg

 

Förlängningsfaktorn, dvs med den faktor förlängningen påverkar myran framåt=(n+1)/n.

 

L(n)=n+1

l(n)=[ l(n-1)+0,01 ]*(n+1)/n (i meter)

 

Myran har nått B då L(n)=l(n), dvs n=l(n-1)+0,01 där n söks.

 

Denna typ av problem går att lösa på något sätt som jag tyvärr har glömt... Men det som gör att jag tror att myran inte når fram är att förlängningsfaktorn minskar från 2 till 1 då n går mot oändligheten. Det ger för stora n:

 

l(n)=l(n-1)+0,01 vilket betyder att för varje steg på en cm kommer myran bara just en cm framåt medan längden ökar med 100 cm. Hinner inte tänka igenom det hela mer än så...

 

Kanske hjälpte lite.

 

Mvh

/Vanja

 

[mimaca]

Tackar så mycket för hjälpen!

 

Det var ett tag sedan jag höll på med differentialekvationer men nu vet jag hur jag ska gå tillväga för att lösa problemet.

 

Mvh/MiMaCa

 

[Einar Zettergren]

Jag testade att köra Vanjas serie i Excel med iterationsinställning. jag satte som kontrollsiffra kvoten mellan l och L.

 

Om man i stället för en faktor hundra nöjde sig med en faktor fem i förlängningsfaktor, så var myran framme vid B på färre än trehundra iterationer. Med en faktor tio tog det i runda slängar 30 000 iterationer. Med en faktor hundra, som i detta fall, var jag efter ca 15 MILJONER (jag tröttnade...) iterationer bara upp i ca 16 % av L. Men siffran ökade sakta men säkert hela tiden.

 

Det är ju litet tveksamt om sifferprecisionen i Excel är helt pålitlig vid så stora tal, men det verkar i alla fall som om ökningen är exponentiell mot förllängningsfaktorn; inte orimligt eftersom det är en första ordningens diffekvation.

 

Man kanske skulle köra Excel med ett antal låga tal (upp till en faktor 10) och mappa mot en log-kurva, (lin/log eller log/log), så får man se om det blir en rät linje...

 

[Vanjis]

Kul att du kollade upp det!

 

Ha det bra!

/Vanja

 

[Pejo]

Hej,

 

Med följande beteckningar:

 

l - snörets startlängd (startkoordinat)

B - x-koordinaten för snörets rörliga punkt

P - x-koordinaten för myran

u - "snörpunktens" hastighet

v - myrans hastighet

 

Blir mina ekvationer:

 

B = l +u*t

dP/dt = u*P/B + v = P*1/(l/u+t) + v

 

Efter lite bläddrande i gamla goda Beta, fick jag lösningen av diff.ekvationen till:

 

P = v*(l/u+t)*[ ln(l/u+t) - v*l/u*ln(l/u) ]

 

och med B = P får jag

 

t = e^(u/v)*(l/u)^(v*l/u) - l/u

 

vilket verkar stämma med dina testkörningar, Einar.

 

mvh

/Johan

 

[mimaca]

Tackar, jag fick också denna ekv.

 

Mvh /Mattias