konisk behållare

[rudbeckbarn]

en uppochnedvänd kon med höjden 60 cm och radien 12 cm, man häller i vatten uppifrån och vatten rinner ut i botten. det rinner ut med hen hasteghet som är proportionell mot den area som är i kontakt med vattnet. om påfyllnadshastigheten är 100 cm^3/min kommer vattenytan att sjunka med 0,6cm/min då vattenhöden är 24 cm. Hur ska man göra för att få vattenytan konstant?

 

det fundamentala då är att hälla i lika mycket som rinner ut... så jag tänkte att man räknar ut en formel för höjden som beror av matelarean på vattnet. deriverar funktionen och sätter derivatan av den funktioen=hastigheten man häller i vatten. Svaret jag kom fram till blev helt orimligt.

jag har kört fast helt och skulle behöva lite hjälp.

säker på att det finns nån smart typ här som kan bidra med lite vägledning.

 

[Peddler]

Sätt i en kork där vattnet rinner ut. Sen är vattenytan konstant...

 

[Monshi]

men om man sätter vattnet i rotation så ökar flödet genom hålet... vad blir det då för flöde?

 

Tyvärr ingen lösning på ditt problem.

 

Lycka till!

/T

 

Even when we know we´ll never find the answers, we have to keep on asking questions.

 

[Vanjis]

Jag har försökt men är lite osäker på om det stämmer. Med mitt svar måste man veta vattenhöjden då påfyllningen börjar.

 

Eftersom höjden är 60 cm och radien 12 cm fås förhållandet (som gäller för alla höjder) h(t)=5r(t).

 

Volymen i konen ges av:

V(t)=pi*r(t)^2*h(t)/3 = pi*h(t)^3/75

 

Mantelarean = A(t)=pi*r(t)*s = pi*r(t)*sqrt[h(t)^2+r(t)^2]

= [pi*sqrt(26)*h(t)^2]/25

 

Sätter dV/dt=förändring av volymen i konen, dVu/dt=volymen som rinner ut per min, dVi/dt=volymen som kommer in per min. För jämvikt ska dV/dt = 0 eller dVi/dt = dVu/dt.

dV/dt=dVi/dt-dVu/dt (1)

 

Givet att dVu/dt=k*A(t)=k*[pi*sqrt(26)*h(t)^2]/25 (2)

 

dV/dt=Der(pi*h(t)^3/75)=[obs derivatan av en produkt, h(t)^3]=

[pi*h(t)^2*h´(t)]/25

 

För dVi/dt=100 är h´(t)=-0,6 och h(t)=24, medför med hjälp av (1):

-[pi*24^2*0,6]/25=100-dVu/dt omflyttning och (2) ger:

dVu/dt=100+[pi*24^2*0,6]/25=k*[pi*sqrt(26)*h(t)^2]/25

 

Beräkning ger k=0,3886 som från (2) ger dVu/dt=0,249*h(t)^2

Eftersom jämvikt skall råda är även dVi/dt=0,249*h(t)^2 där h(t)=h(0) eftersom volymen, och därmed höjden, hålls konstant.

 

Hoppas det blev rätt!

 

/Vanja

 

[gunnargreta]

 

[inlägget ändrat 2005-04-28 12:54:22 av gunnargreta]

[inlägget ändrat 2005-04-28 12:57:05 av gunnargreta]