Sinuskvadraticus?

[fredrikandersson]

De vanliga trigonometriska funktionerna sin v och cos v defineras ju med hjälp av enhetscierkeln.

Om man nu byter ut enhetscirkeln mot en kvadrat så får man två nya funktioner nämligen sink v och cosk v. (Kvadraten har sina hörn i punkterna (1,1) (-1,1) (-1,-1) (1,-1).) Hur defineras sink v och cosk v?

Det skulle vara bra om lösningen endast innefattade kus D matte.

 

Tack på förhand

Fredrik Andersson

 

[Anjuna Moon]

Snabbt tänkt känns det som om de borde definieras som:

 

SinK(x)=ASin(x)

CosK(x)=ACos(x)

 

där A=Sqrt(2)

 

[fredrikandersson]

Oj. Det där med Sqprt(2) har jag inte lärt mig ännu. Jag är på den nivån så att vi använder sinus-satsen cos-satsen osv

 

[Anjuna Moon]

Sorry, med Sqrt(2) menar jag "roten ur 2"

 

EDIT: Förkortning av engelskans SQuareRooT

[inlägget ändrat 2004-11-21 15:14:00 av Anjuna Moon]

[Anjuna Moon]

Om du undrar hur jag kom fram till detta, så rita en cirkel runt enhetskvadraten, där hörnen tangerar cirkeln. Dra ett streck från origo till ex. hörnet i kvadrant 1. Detta streck har längden "roten ur 2" (Pyth.sats) och det är även radie i den nya cirkeln.

 

I enhetscirkeln har du radien 1 vilket ger 1*sin(x) och 1*cos(x) som

beskrivande funktioner.

 

Den nya cirkeln beskrivs således av Sqrt(2)*sin(x) och Sqrt(2)*cos(x)

 

Eftersom kvadratens punkter också ligger på cirkeln beskriver dessa funktioner även dess hörn, (för vinklarna 45, 135, 225 och 315 grader).

 

[fredrikandersson]

Ok. Tack så jätte mycket.

 

Mvh

Fredrik Andersson

 

[fredrikandersson]

Satt och testa det du skrev. Dessa funktioner verkar endast fungera i kvadratens hörnpunkter. Om man inte har vinkeln 45, 135, 225 eller 315 så blir ju inte hypotenus Sqrt(29), då kommer ju inte dessa funktioner att fungera.

 

[Anjuna Moon]

Nä, självklart inte. Jag insåg inte att det var det du var ute efter. Du menar att sinK och cosK skall beskriva alla punkter på kvadraten givet vinklarna 0-360? Det blev lite knepigare. Kommer jag på det så hör jag av mig.

 

[fredrikandersson]

Det låter bra.

 

[Anjuna Moon]

Ok, det blir en parametriserad funktion (vilket är ett helt giltigt sätt att beskriva funktioner på). Ser gärna alternativa definitioner, detta är den enda jag kan se.

 

SinK(v)

------

0<v<45 : Tan(v)

45<=v<=135: 1

135<v<180: -Tan(v)

180<v<225: Tan(v)

225<=v<=315: -1

315<v<360: -Tan(v)

 

CosK(v)

------

0<=v<=45 : 1

45<v<90: 1/Tan(v)

90: 0

90<v<135: 1/Tan(v)

135<=v<=225: -1

225<v<270: -1/Tan(v)

270: 0

270<v<315: -1/Tan(v)

315<v<360: 1

 

[MrB]

Ja om vi med sink menar höjden från x-axeln till skärningspunkten för linjen med vinkeln v och kvadraten så ingår den ju i en rätvinklig triangel med höjden tan v [eller y=sink(v)=tan (v)]. Detta gäller för 0<v<45. Passerar vi hörnet och kommer in i intervallet 45<v<135 så är ju höjden konstant 1. Med detta resonemang borde man komma fram till ungefär

 

315<v<45: sink(v) = tan(v)

45<v<135: sink(v) = 1

135<v<225: sink(v) = -tan(v)

225<v<315: sink(v) = -1

 

och för cosk således

 

315<v<45: cosk(v) = 1

45<v<135: cosk(v) = tan(90-v)

135<v<225: cosk(v) = -1

225<v<315: cosk(v) = -tan(270-v)

 

Hoppas du är nöjd med svaret. Fråga gärna om det är nåt du inte förstår.

Förresten, vad heter författarna till din mattebok?

 

[EDIT]

Anjuna Moon hann visst före med en liknande lösning. Men jag kortade nog ner det lite i alla fall.

[inlägget ändrat 2004-11-21 18:06:59 av MrB]

[Anjuna Moon]

Ja, ditt exempel var en smidigare variant av min, så slapp man specialfallen för tan(90) och tan(270)

 

[Anjuna Moon]

Hittade just en projektuppgift som någon gjort kring ämnet:

 

http://www.forsmark.uu.se/~fs02ropi/skolarbeten/matematik/sinuskvadraticus.pdf

 

[MrB]

Oj! Den verkade lite tillkrånglad, men det såg ut att vara en seriös student.

 

[fredrikandersson]

Tack för svaren.

 

Anjuna Moon: Länken du bifogade var perfekt. Det är exakt det arbetet jag jobbar med.

 

Fredrik Andersson

 

[Geni]

Skulle någon kunna förklara det här på ett lättare sätt?