Matematik - Polynom

[Oskar Hansson]

Hej!

 

Finns det nån klyftig matematikintresserad människa här? Jag skulle behöva lite allmänna tips/riktlinjer när det gällar att anpassa linjer till mätpunkter...

 

Jag vill anpassa en linje till en serie mätvärden. Till mitt förfogande har jag följande polynom:

 

Linear Regression (2) y = a + b*x

Quadratic Polynomial (3) y = a + b*x + c*x^2

Cubic Polynomial (4) y = a + b*x + c*x^2 + d*x^3

Quartic Polynomial (5) y = a + b*x + c*x^2 + d*x^3 + e*x^4

 

Det jag vet är minsta antal mätpunkter som krävs för respektive polynom (angivet inom parantes). Linear Regression ger ju en rät linje, hur är det med de andra? Den största mätpunkten har värdet 0,2 och den minsta 0,0005. Hur fördelar man på bästa sätt resterande mätpunkter inom detta intervall (för respektive polynom)? Spelar det överhuvudtaget någon roll hur mätpunkterna är fördelade? Vilket polynom bör jag använda och varför?

 

/Oskar - som hoppas att nån annan kan bättre...

__________________________________________________

 

Laozi - "Truthful words are not beautiful; beautiful words are not truthful"

 

 

[FH]

Hej!

En av de vanligaste metoderna för detta är minstakvadratmetoden (least square).

 

För förklaring se:

 

http://www.efunda.com/math/leastsquares/leastsquares.cfm

 

 

För att utnyttja deras webversion av lämpligt verktyg:

 

http://www.efunda.com/webM/numerical/curvefitpoly.cfm

 

krävs registrering.

 

Lycka till.

 

[Vricklund]

Vilket polynom du ska använda beror ju helt på vilket förlopp dina mätningar är gjorda. Kan du anta något om hur systemet "bör" uppträda? Vad är det du har mätt på?

 

[Pejo]

Hej!

Svårt att säga generellt vilket polynom som ger bäst resultat, det beror helt på hur dina mätvärden ser ut och vad du ska använda resultatet till. Några allmänna tips dock:

- förmodligen bra att använda så många mätvärden som möjligt, så länge de är någorlunda tillförlitliga. Skulle tex något mätvärde avvika mycket märks det mindre ju fler du använder

- ska du använda den resulterande approximationen inom ett visst intervall bör du täcka detta med dina mätvärden

- om det "händer mycket" med dina mätvärden någonstans, tex plötsliga lutningar, är det förmodligen intressant att ha flera mätvärden där (eller ocskå har mätningarna gått snett)

 

Den "totala" avvikelsen mellan approximationen och de uppmätta värden som ges av minsta kvadrat-metoden ger ett mått på hur bra anpassningen är. Ska du räkna manuellt eller har du något program till hjälp? Har du tillgång till Excel kan det utföra regressionsanalys (dvs minsta kvadrat-metoden) med olika typer av polynom, se //eforum.idg.se/viewmsg.asp?EntriesId=478049

 

hälsningar

Johan

 

[Oskar Hansson]

Det är en spädningsserie som SKA vara helt linjär, men givetvis blir det små variationer ändå. Den anpassade linjens ekvation används sedan för att beräkna okända provers koncentration inom intervallet (0,0005-0,2).

 

/Oskar

__________________________________________________

 

Laozi - "Truthful words are not beautiful; beautiful words are not truthful"

 

 

[Oskar Hansson]

Tack för länkarna. Ska läsa på lite där. Är ingen kung på matte direkt. (man kan välja mellan formlerna ovan i programmet som gör mätningarna, inget jag har kommit på själv...)

 

/Oskar

__________________________________________________

 

Laozi - "Truthful words are not beautiful; beautiful words are not truthful"

 

 

[Vricklund]

Hehe, då så. Välj en linjär regression.

 

[Oskar Hansson]

Är det det ända rätta? Även om man tycker att ett polynom ändå följer värdena bättre?

 

Det blir lite av cirkelreferens i programmet. Jag gör iordning en spädningsserie (som inte nödvändigtvis blir exakt) samt anger deras "kända" koncentration i mjukvaran. Apparaten läser av värdena och anpassar en linje till värdena med angivna koncentrationer. Från kurvan läses sedan koncentrationerna på okända prover av, även spädningsserien får "nya" koncentrationer utifrån kurvan. Klurigt! Metoden ger bara tillförlitlig data i det linjära området. Ska bolla vidare med det imorgon...

 

Tack för svaren!

 

/Oskar

__________________________________________________

 

Laozi - "Truthful words are not beautiful; beautiful words are not truthful"

 

 

[Pejo]

Hmm,

 

Du har alltså en apparat som mäter koncentrationen i en vätska. Vet du hur den gör det? Förmodligen är det sambandet mellan denna uppmätta storhet och koncentrationen som ska modelleras, dvs "det apparaten mäter" = funktion av koncentrationen.

 

Många fysikaliska och kemiska samband kan beskrivas relativt enkelt (linjärt eller 2:a grads funktioner), åtmoinstone inom begränsade intervall. Nu gissar jag bara, men kanske är beroendet av vad det nu är apparaten mäter och koncentrationen olika i ett stort intervall av koncentrationer. Ibland är saker och ting hyfsat linjära inom ett intervall för att sedan spåra ur i extremlägena.

 

hälsningar

Johan

 

[Oskar Hansson]

Ok, förklarar lite mer exakt...

 

Apparaten är en fluorometer (mäter fluorescens av en våglängd när provet belyses med en annan våglängd) som ska användas för att mäta DNA-koncentrationen i prover. Det görs genom att "färga" proverna med en molekyl (PicoGreen) som binder in till DNA. De bundna molekylernas fluorescens ändrar radikalt jämfört med obundna. På så sätt kan man med hjälp av en standardkurva av kända DNA-mängder ta reda på okända provers koncentrationer. Det som är lurigt är att färgen egentligen är till för dubbelsträngat DNA, men det som jag vill mäta är troligen delvist enkelsträngat (pga. att proverna kokas = DNA:t denatureras).

 

Standarden består av kommersiellt tillgängligt Lambda-DNA (DNA från ett bakterievirus) som är dubbelsträngat. Jag håller nu på att optimera standardkurvan dvs. hitta det koncentrationsintervall som ger en linjär standardkurva (där metoden ger tillförlitlig data). Sen måste resultaten från okända prover korreleras (eftersom koncentrationen blir felaktig pga att DNA:t är delvist denaturerat) till en annan metod som anses ge "rätt" koncentration.

 

Möjligen viker kurvan av lite vid de lägsta koncentrationerna (det är lite svårt att se). Är det då fel att använda ett polynom ist för en linjär kurva?

 

/Oskar

 

 

__________________________________________________

 

Laozi - "Truthful words are not beautiful; beautiful words are not truthful"

 

 

[Vricklund]

Jag skulle fortfarande använda en linjär modell. Det är ju ett linjärt förhållande vi vill ha, inte att kurvan ska tvingas anpassa sig efter dina mätvärden.

 

Att mätvärdena avviker vid låga koncentrationer kanske beror på den olinjäritet, i vissa intervall, som du skriver om?

 

[Oskar Hansson]

Ok! Jag kommer att använda en linjär modell. Och jag ska försöka ta reda på mer exakt hur långt ner lijäriteten går.

 

Jag har också pratat med en kompis som försökte förklara varför det ändå är bättre med en linjär modell fast man kanske får "bättre" resultat med ett polynom vid varje enskild körning.

 

/Oskar - som nu är lite klokare...

__________________________________________________

 

Laozi - "Truthful words are not beautiful; beautiful words are not truthful"