Bestämma n i en aritmetisk talföljd/summa

[Ove Söderlund]

Gymnasiematten hos mig är en smula ringrostig, så jag behöver hjälp med följande fråga:

 

Jag vill bestämma n i en aritmetisk summa

Vi har grundformlerna:

Värdet av n:te elementet i en artimetisk talföljd: A(n) = A(1) + d * (n - 1)

Summan av n:te elementet i en aritmetisk talföljd: S(n) = n * ( A(1) + A(n) ) / 2

 

Jag vill få fram n när storheterna S(n), A1 och d är kända.

[Monshi]

Om du har de två formlerna och de kända variablerna har du, när du satt in dina kända värden, två formler och två obekanta.

 

De obekanta må heta lite konstigt men det är ett vanligt ekvationssystem som du kan lösa via additions eller substitutionsmetoden exempelvis.

 

 

Ett sätt att börja är att sätta in utrycket för A(n) i formeln för S(n). Kvar får du en formel beroende av bara en obekant, en formel du kan lösa.

 

Lycka till!

[Ove Söderlund]

Jag är med på detta spår också, blir en ekvation där jag inte riktigt blir på det klara med hur jag ska bryta ut n:

 

Formeln S(n) = n * ( A(1) + A(n) ) / 2

Vi bryter ur A(n) och får följande formel: A(n) = ( ( 2 * S(n) ) / n ) - A(1)

 

Vi vet att A(n) = A(1) + d(n - 1) från formeln för artimetisk talföljd och det ger oss att lägga upp följande ekvation med en obekant och där vi måste bryta ut n:

 

A(1) + d(n - 1) = ( ( 2 * S(n) ) / n ) - A(1)

 

A(1) = startvärdet i en aritmetisk talföljd

d = differensen mellan talen i talföljden

S(n) = Summan av talen i en aritmetisk talföljd efter n termer

 

 

Här behöver jag lite mer hjälp på traven för att bryta ut n.

[Monshi]

Okej du har

A(n) = A(1) + d * (n - 1)

S(n) = n * ( A(1) + A(n) ) / 2

där fetmarkerade är okända, övriga konstanter

 

Men se, vi har A(n) ensamt i första ekvationer, vi sätter in den i ekvation två:

S(n) = n*(A(1) +A(1)+d*(n-1))/2

 

Utvecklar denna till

S(n) = (d*n² +n*(2*(A(1) - 1) )/2 = > n² +n*(2*A(1) -1)/d -2*S(n)/d = 0

en andragradsfunktion där du kan räkna ut n givet att d, A(1) och S(n) är kända.

[Pejo]

Hej,

...

A(1) + d(n - 1) = ( ( 2 * S(n) ) / n ) - A(1)

...

Utveckla parentesen och multiplicera båda sidor med n:

nA(1) + dn^2 - dn = 2*S(n) - nA(1)

 

Samla allt på samma sida likhetstecknet och gör n^2 ensamt genom att multiplicera med 1/d:

n^2 + n[(2*A(1)/d - 1] - 2*S(n)/d = 0

 

Du har nu en andragradsekvation på formen x^2 + Ax + B = 0 vilken löses som

x = -A/2 +/- SQRT[ A^2/4 - B ]

 

... och där tog min lunch slut, resten lämnas för egen övning.

 

Hälsningar

/Johan

[Ove Söderlund]

Jag tackar allra djupast för hjälpen! Inser att det var multiplikationen 1/d som jag inte hade grepp om. Var väl 25 år sedan jag pysslade med andragradsekvationer senast.

 

@Ppejo: n[(2*A(1)/d - 1] har du råkat skriva fel, det korrekta blir som i Monshis formel, n*(2*A(1) -1)/d

[Monshi]

Lätt att det blir lite fel med så många konstanter...

 

Men nu klarar du dig? Du minns PQ-formeln?

Om

x² + p*x + q = 0

är

x = -p/2 +/- sqrt((p/2)²- q)

 

 

Du förstår hur vi gjort? Lösningen i sig har inget med en aritmetisk serie att göra.

[Pejo]

Jag kanske tolkade ditt uttryck fel, men om d(n-1) ska utvecklas till dn-d borde mitt resultat stämma. Hursomhelst, bra att det löste sig.

 

Hälsningar

/Johan

[Ove Söderlund]

Alla pusselbitar sitter på plats och jag har sammanställt ett litet worddokument om detta. Kanske finns det någon annan som kan ha nytta av denna frågeställning. Anledningen till worddokument är att det blev mer överskådligt med formler gjorda i ekvations-editorn.

 

Edit: gammalt worddokument borttaget!

[Pejo]

Nu vill jag inte vara en Messerschmitt , men det är ett räknefel i sista ledet i första kolumnen i ditt dokument:

 

1/d*n*(2A - d) = n*(2A - d)/d = n*(2A/d - d/d) = n*(2A/d -1)

 

Hälsningar

/Johan

[Ove Söderlund]

Du får mer än gärna vara en "Messerschmitt" Din rättelse är helt korrekt, det lustiga var att min felaktiga lösning och din rättelse ger samma svar på den klassiska Gauss-talföljden, men när jag räknade på talserier med större värden så ger din lösning korrekta svar medans min ger svar i decimalform.

 

Jag kan inte minnas att jag hade så här kul med andragradsekvationer och sånt på Teknis back in the days in school

 

Här kommer den rättade worddokumentet för de som önskar:

härledning ekvation.doc

[Pejo]

Du får mer än gärna vara en "Messerschmitt" Din rättelse är helt korrekt, det lustiga var att min felaktiga lösning och din rättelse ger samma svar på den klassiska Gauss-talföljden, men när jag räknade på talserier med större värden så ger din lösning korrekta svar medans min ger svar i decimalform.

Om d = 1 försvinner felet/skillnaden i formeln ...

 

Visst är det kul att kunna härleda och räkna ut saker vid behov!

 

Hälsningar

/Johan