Procentuell ökning med summering?

[Henkuttt]

Hej!

 

Jag är dålig på mattetermer, men jag håller på och leker med ett expriment med mina vänner.

 

Om jag äter 100 korvar varje år och ökar min konsumtion med 7 % per år. Hur lång tid tar det då att äta 100 000 korvar?

 

Jag får fram olika svar. När jag gör en monsterformel i Excel får jag 63 år. När jag räknar med min superformel som jag hittat så blir det 103 år.

 

Formeln som jag hittat: (1,07^x-1)*100 = 100 000

 

Är det någon som kan säga hur jag ska räkna. Och vilka sidor/räknare jag använder om jag vill leka lite med liknande uppgifter?

 

[Monshi]

Wikipedia har en bra beskrivning:

Logaritmerna kan användas för att lösa vissa ekvationer. Säg att vi vill finna x i ekvationen 10x = 1000. Ett enkelt sätt är att inse att 10^3 = 10 * 10 * 10 = 1000, d.v.s. att lösningen är alltså x = 3. Ett annat sätt utnyttjar logaritmer:

 

Tag 10-logaritmen av båda sidor.

 

log(10x) = log(1000)

 

Utnyttja logaritm-lagarna.

 

x*log(10) = log (1000)

 

Slå log(10) och log(1000) på miniräknaren. Då får man log(10) = 1 och log(1000) = 3, alltså har vi ekvationen x \cdot 1 = 3. Lösningen är alltså x = 3, precis som vi kom fram till tidigare. Skillnaden är att vi använt logaritmer för att lösa den, medan vi tidigare "såg" lösningen. Fördelen med logaritm-lösningen är att den fungerar även om vi har en ekvation som 10x = 1234, som inte har en heltalslösning (enligt Gelfond–Schneiders sats kommer lösningen dessutom att vara transcendent, d.v.s. talet går inte att beskriva algebraiskt).

 

med denna enkla regel så blir svaret 171 år.

 

 

/T

 

Even when we know we´ll never find the answers, we have to keep on asking questions.

 

[Pejo]

Vet inte riktigt hur du har fått fram din formel, men det du frågar efter är det här:

 

år 0: 100 korvar, kalla det a (som i antal) korvar

år 1: a*1,07 korvar (7% fler korvar än föregående år, kalla 1,07 för r)

år 2: (a*r)*r = a*r^2

...

år x: a*r^x

 

Du undrar nu när a + a*r + ... + a*r^x = 100 000 (kalla det S)

 

Detta är en geometrisk summa och sådana finns det en formel för

(se http://en.wikipedia.org/wiki/Geometric_series):

 

a * (1-r^x) / (1-r) = S

(eventuellt x+1 i formeln, beroende på hur du räknar åren)

 

Här får du lösa ut x med hjälp av logaritmer som Monshi visat.

 

(1-r^x) = S/a*(1-r)

r^x = 1 - S/a*(1-r)

log(r^x) = log(1-S/a*(1-r))

x*log® = log(1-S/a*(1-r))

x = log(1-S/a*(1-r)) / log® = [med insatta värden] = 63

 

mvh

/Johan

 

[Henkuttt]

Vad är rätt svar då?

 

171 eller 63?

 

[Monshi]

Jag gissar på Pejo då han letat reda på rätt formel (antar jag) och jag enbart löst den formel du gav.

 

 

/T

 

Even when we know we´ll never find the answers, we have to keep on asking questions.

 

[Pejo]

Har ingen aning hur Monshis resultat är uträknat och tycker naturligtvis att jag har rätt. Åtminstone som du har framställt problemet. 63 var väl också det svar du fick med "manuell" beräkning i Excel? Dessutom, efter 102 år äter du mer än 100 000 korvar per år. (100*1.07^103 = 106 299)

 

mvh

/Johan