Ökningshastighet för en area

[Re-JeeP]

Hej!

 

Behöver lite hjälp med ett problem.

 

I en damm släpps det en sten och det bildas en cirkel av vågorna. När radien på cirkeln är 20cm har radien en ökningshastighet på 4cm/s. Hitta ökningshastigheten i samma punkt för arean på cirkeln.

 

Vi vet:

f(r)= A = pi*r^2
f'(r) = A' = 2*pi*r

Genom att sätta in 20cm i funktionens derivata får vi fram vad ökningsfaktorn är i den punkten. Mao:

f'(20) = 2*pi*20 = 40*pi

Sedan multiplicerar vi ökningsfaktorn med hastigheten då radien är 20cm och får att ökningshastigheten för arean borde vara 40*4*pi = 160*pi.

 

Och nu kommer vi till problemet. 160*pi är rätt. Enheten ska givetvis vara cm^2/s. Men hur kommer man fram till det? Efter som enheten för radiens ökningshastigheten är cm/s måste ökningsfaktorn ha enheten cm. Hur hänger detta ihop? Eller har jag tänkt fel när jag räknat?

 

Mvh // Johan

 

[inlägget ändrat 2007-09-20 21:11:49 av Re-JeeP]

[inlägget ändrat 2007-09-20 21:12:17 av Re-JeeP]

[Re-JeeP]

Ökningsfaktorns enhet är ju faktiskt n cm^2/cm (A/r) = cm. Enheten blir ju rätt då.

 

Tack i alla fall!

 

[Pejo]

Hej,

 

Ditt uttryck för A' är inte riktigt korrekt.

 

Du har en cirkel vars radie ändras över tiden:

r(t) - okänd funktion för cirkelns radie över tiden

r'(t) - okänd funktion för cirkelns utvidgningshastighet över tiden

 

Nu till arean, som också är tidsberoende:

A(t) = pi*r(t)¨2

A'(t) = 2*pi*r(t)*r'(t)

Eftersom du deriverar med avseende på tiden måste inre derivatan, r'(t), vara med i uttrycket för A'.

 

Lyckligtvis vet du värdena för r och r' vid en viss tidpunkt:

r(t1) = 20 cm

r'(t1) = 4cm/s

dvs

A'(t1) = 2*pi*20*4 cm^2/s = 160*pi cm^2/s

 

mvh

/Johan