Generell lösning

[vogon_jeltz]

Hej,

 

Har löst följande uppgift:

 

Ange ett komplext tal z som inte är ett reellt tal och som uppfyller att z2+2z är ett heltal.

 

Svar: z=(-1+i)

Lösning:

z2=(-1+i)(-1+i)=1-i-i+i2 = 1-2i+i2 = 1-2i-1 = -2i

2z=(2+0)(-1+i)= -2+2i

w=(0-2i)+(-2+2i)=(-2+0)=-2

 

Svaret fick jag fram genom att testa ett par olika tal. Problemet är nu att jag behöver, med hjälp av svaret, komma på en generell lösning som kan användas till liknande uppgifter. Det står still... :-) Någon som hjälpa mig?

 

[vogon_jeltz]

Tror jag kom på det själv...

 

Om vi sätter att z^2+2z=-2 så...

 

z^2+2z+1=-2+1

(z+1)^2=-1

z+1=sqrt(-1)

z=-1±i*sqrt(1)=-1±i

 

Då borde vi ha en metod som ser ut som

z=-1±i*sqrt(-n-1) om n<-1

där n är det heltal vi vill få som svar.

 

Om vi då vill få svaret -5 så blir det

z=-1±i*sqrt(5-1) = -1±2i

[inlägget ändrat 2007-08-27 23:54:16 av vogon_jeltz]

[KGHKGH]

Tjena! Antar att du precis som ajg precis har börjat läsa Matte E?

 

Så här tänker jag:

 

z=x+iy

z^2+2z=u

 

vi har villkoret att Im(u)=0 och Im(z)=/0 (inte noll)

 

u = z^2+2z = (x+iy)^2 + 2(x+iy) = (x^2 + 2ixy - y^2) + (2x + 2iy)

=x^2 + 2x - y^2 + 2ixy + 2iy = x^2 + 2x - y^2 + iy(2x + 2)

 

Re(u)=x^2 + 2x - y^2

Im(u)=y(2x + 2)

 

Im(u)=0 -> y=0 eller x=-1 men y får inte vara = 0.

 

Vi har då att z = -1 + iy

 

u = z^2+2z = (-1+iy)^2 + 2(-1+iy) = (1 - 2iy - y^2) -2 + 2iy = -1 - y^2

dvs. ett rellt tal

 

Du kan alltså ta vilekt värde på y som du vill bara du tar x=-1.

 

Alltså

z=-1+iy är inte ett rellt tal om y är skillt från noll

z^2+2z=reelt tal

 

 

Hoppas du förstår, tycker själv att det kan bli lite rörigt med alla bokstäver.

 

 

MVH Claes