Derivering av kontinuerligt deriverbara funktioner

[SynoT]

Har följande problem:

 

Bestäm g´(1) om funktionen g(x) definieras av g(x)=f(x^2)f(x^6) där f är en kontinuerligt definierbar funktion som uppfyller f(1)=5 och f´(1)=4

 

Jag har läst andra inlägg här och läst allt jag kan komma över på nätet och i kurslitteraturen, men blir inte mycket klokare. Kan någon hjälpa mig?

 

[icaruscry]

Du måste använda produktregeln vid derivationen av g(x).

 

Allmänt gäller för två kontinuerligt deriverbara funktioner att ( f(x)*g(x) )' = f'(x)*g(x) +f(x)*g'(x).

 

I ditt exempel får du också med inre derivata vid derivationen.

 

Om g(x)=f(x^2)*f(x^6) . Då gäller att

 

g'(x)=( f(x^2)*f(x^6) )' = f'(x^2)*2x*f(x^6)+f(x^2)*f'(x^6)*6x^5.

 

Med x=1 insatt fås

 

g'(1)=f'(1)*2*f(1)+f(1)*f'(1)*6=8f'(1)f(1)=8*4*5=160.

 

 

Helt allmänt kan man annars skriva ditt problem som

 

d/dx( f(h(x))*g(p(x)) ) = df/dh(x)*dh/dx*g(p(x)) + f(h(x))*dg/dp(x)*dp/dx .

 

Här syns kanske lättare hur derivationen utförs mer exakt, fast det blir mer rörigt.

 

[SynoT]

 

Tack så otroligt mycket för en ovärderlig hjälp! Jag klarade problemet jag skulle lösa.