Varför är (a^n)-1 delbart med (a-1)...

[vogon_jeltz]

...positiva heltal n?

 

Varför är t ex 8²-1 delbart med 7, 6³-1 delbart med 5 och så vidare?

 

Hittar ingen information om detta och behöver ett svar (en motivering) för en uppgift...

 

Tacksam för svar!

[inlägget ändrat 2007-07-24 23:21:55 av vogon_jeltz]

[Anjuna Moon]

En snabb ledtråd är att bevisa att

 

(a^n)-1 mod (a-1) = 0 ; där mod är modulo-operationen

 

eller att

 

gcd((a^n)-1 , (a-1))=(a-1) ; där gcd är största gemensamma nämnare

 

[vogon_jeltz]

Tack! Nu förstod jag!

 

[Anjuna Moon]

En till ledtråd hade varit att utreda den gemensamma lösningen till

a mod (a-1)

a^2 mod (a-1)

...

a^n mod (a-1)

 

Resten ger sig med kongruenslagarna

 

[icaruscry]

Personligen tycker jag det räcker med att titta på serieutvecklingen

 

(a^n -1)/(a-1) = a^(n-1)+a^(n-2)+...+ a + 1 . Med villkor : a skilt från 1 och

n tillhör heltalen Z där n>=1 .