problem med ekvationer

[mika87]

Hej,

 

Jag har lite svårighet med dessa två ekvationer.

ln(x^2-17)=ln(3-x)

 

ln x^2-ln17=ln3-lnx

x^2-20+x=0

x=-0.5+- sqrt 20.25

x=4

 

Andra bekymret, vet inte ens om jag är på rätt spår …

e^x -8 / 5 e^-x -2 =3

 

e^x -8=3*(5 e^-x - 2)

e^x -8=15 e^-x – 6

e^x -8-15 e^-x + 6=0

e^x -15 e^-x -2=0

 

Vad gör jag för fel?

 

[KomodoM]

Hej,

 

När det gäller den första uppgiften så kan du använda vanliga regler vid ekvationslösning..tex.

ln(x^2-17)=ln(3-x)

är samma sak som

(x^2-17)=(3-x) Sen blir talet en vanlig andragradsfunktion som du enkelt kan lösa med pq-formeln.

 

Såg nu att du redan gjort detta:) Så förbise detta inlägg

[inlägget ändrat 2007-06-28 11:15:20 av KomodoM]

[icaruscry]

I första problemet har du två rötter till andragradsekvationen. Du har hittat x=4 och den andra är x=-5. Kontroll ger (x-4)(x-(-5))=(x-4)(x+5)=x^2+x-20.

Rötterna är x=4 och x=-5, men x=4 är ingen lösning eftersom insättning av x=4 ger naturliga logaritmen av ett negativt tal vilket inte är definierat. Alltså är den enda lösningen x=-5 .

 

Andra problemet , du får e^(x)-15e^(-x)-2 =0. Här kan du lättast byta variabel för att strukturera upp räkningarna, men det går utan att göra det också. Sätt då z=e^(x). Då fås z-15z^(-1) -2 =0 . Om vi multiplicerar med z fås en andragradsekvation. z^2-2z-15=0. Vilken har lösningarna z=5 och z=-3. Då återstår att gå tillbaka till variabeln x. Då är x=ln(z), för z=5 fås x=ln(5) . z=-3 är ingen lösning eftersom vi inte får ta logaritmen av ett negativt tal.

Alltså är den enda lösningen x=ln(5). Insättning av lösningen ger 5-15/5 -2 =0, vilket är korrekt.

 

[inlägget ändrat 2007-06-28 11:10:57 av icaruscry]

[mika87]

Hej, Tack så mycket för hjälpen:)

Jag skäms att fråga så mycket, men kan inte få rätt på den här funktionen heller:(

 

Funktionen M(t)=16e^-t/701 beskriver mängden av en radioaktiv isotop som funktion av tiden t [år]. Efter hur lång tid har mängden sjunkit till 1/5 av den ursprungliga?

Svaret kan skrivas som t=alnb

 

 

 

[icaruscry]

Det är alltid rätt att fråga om man inte förstår.

 

I ditt problem ligger kanske svårigheten i att veta vad den ursprungliga mängden är. Eftersom mängden beskrivs av en given modell kan du använda den. Ursprungliga mängden motsvarar då begynnelsemängden( värdet då t=0) vilket är värdet M(0)=16*e^(-0/701)=16*1=16. Frågan är när denna mängd har gått ner till en 1/5 av den ursprungliga mängden, alltså att mängden M(t)=16/5 för något t >0.

Detta kan lösas med modellen för mängden, M(t) . Problemet ges då av ekvationen 16/5=16*e^(-t/701) . Först kan vi förenkla genom att dividera med 16 så att vi får 1/5=e^(-t/701). Sedan kan vi ta naturliga logaritmen, ln , på båda sidor så att vi har ln(1/5) = ln(e^(-t/701) ) . detta kan förenklas till

-ln(5) = -t/701 vilket ger t=701*ln(5) . I det näst sista steget användes allmänt reglerna att ln(1/x)= -ln(x) och att ln( e^(x) ) = x . Lösningen är alltså t=701*ln(5), insättning i M(t) ger 16*e^( -701*ln(5) /701) = 16*e^(-ln(5)) = 16/5, vilket var mängden som söktes.

 

[mika87]

tack icaruscry, jag fattade inte riktigt hur jag ska göra när mängden går ner till 1/5...nu fattar jag:)