Matte e problem

[KomodoM]

Hej! Har lite problem med en uppgift...

 

Kurvan y = 3x^2 - x^3 begränsar tillsammans med x-axeln ett område som får rotera kring y-axeln. Bestäm rotationskroppens volym.

 

Hoppas någon kan lösa den

 

Tack /M

 

 

 

[abnilsson]

Jag gör ett försök...

Först måste vi ta reda på vad det är för område som ska rotera kring y-axeln. Vi tar reda på funktionens nollställen, dvs vi löser 3x^2-x^3=0, vilket ger x=0 och x=3. Man kan rita upp grafen också om man vill.

 

Området ligger alltså mellan x=0 och x=3, strax ovanför x-axeln. När vi roterar området kring y-axeln bildas en rotationskropp, och volymen av den beräknas nog enklast med sk cylindriska skal. Vi integrerar över x-värdena från 0 till 3, och för varje sådant x-värde tänker vi oss en liten omgivning kring x med bredd dx som motsvarar en vertikalt "band" i området.

 

När vi roterar detta "band" kring y-axeln bildas ett cylindriskt skal, ungefär som en toapappersrulle. Radien är x, tjockleken dx, och höjden är funktionsvärdet, dvs 3x^2-x^3. Volymen av det cylindriska skalet är alltså ungefär 2*pi*x*(3x^2-x^3) dx, där * är vanlig multiplikation. Vi summerar (dvs integrerar) alla dessa volymer för att få den totala volymen. Alltså

 

Volymen = integral 2*pi*x*(3x^2-x^3) dx

 

där integralen går från 0 till 3.

 

Om jag räknar rätt blir det pi * 3^5 / 10.

Mvh

Anders

 

[KomodoM]

Snygg förklaring, tack!