Allmänna lösningen

[MackanB]

Hej!

Vill nu kolla om jag har löst det här rätt?

 

Frågan lyder att man ska bestämma allmänna lösningen till diff.ekv.

 

y´´+6y´+10y=1 - x^2

 

och bestämma den lösning som uppfyller y(0)=y´(0)=0

 

Jag började med att försöka få fram homogena lösningen genom att

sätta

 

r^2 + 6r + 10 = 0

 

r = 3+_ roten ur (3^2 -10)

 

r = 3+_ roten ur -1

 

r = 3+_ i

r1= 3+i

r2= 3-i

 

Den homogena lösningen Yh blir alltså:

 

yh= e ^3x (C cos x + D sin x)

 

 

Därefter försökte jag hitta partikulära lösningen genom att räkna ut

 

 

2A + 6(2Ax+ + 10 (Ax^2 + Bx + C)= 1- x^2

 

2A + 12Ax + 6B + 10Ax^2 + 10Bx + 10C = 1 - x^2

 

10Ax^2 + (12A + 10B)x + 2A + 6B + 10 C = -x^2 + 1 + 0

 

10Ax^2 = -x^2 --> 10 A = -1

 

A = - 1/10

 

12A + 10B = 0

B = 3/25

C = 6 / 125

 

Så den partikulära lösningen Yp blir:

 

yp= -1/10 x^2 + 3/25 x + 6/125

 

Allmänna lösningen är således:

 

y(x) = yh + yp

 

y(x) = C e^3x cos x + D e^3x sin x - 1/10x^2 + 3/25x + 6/125

 

 

Stämmer detta??

Eller har jag gjort helt fel?

 

 

[tjoppas]

Det är en bra början. Såg dock att du hade teckenfel på realdelen när du löser homogendelen.

 

r^2 + 6r + 10 = 0 har lösningen r = -3 +- i

 

Sen efter det får du använda dig av begynnelsevillkoren y(0)=y'(0)=0 för att lösa ut konstanterna C och D.

 

Jag gjorde det och fick C till -6/125 och D till -33/125.

 

 

[Malin_J]

Jag får det till att bli:

 

C= -6/125

 

och D= 3/125

 

Då jag deriverar för att få fram D y´(0)=0 får jag fram :

 

y´(0)= C3e^3x * cos x )+(Ce^3x*-sinx)+ (D3e^3x*sinx)+(De^3x*cosx)+2x/10 + 3/25`= 0

 

3C+ D = - 3/25

 

D= 3/125

 

så tjoppas kanske har fel?

 

 

 

[tjoppas]

Tjena Malin!

 

Du har antagit att y(x) = C e^3x cos x + D e^3x sin x - 1/10x^2 + 3/25x + 6/125 me som jag skrev i mitt inlägg hade MackanB ett litet teckenfel i sin lösning av homogendelen. Detta medför att y(x) = C e^(-3x) cos x + D e^(-3x) sin x - 1/10x^2 + 3/25x + 6/125.

 

En annan sak man kan göra när man löser differentialekvationer är att stoppa in sin lösning y(x) i "grundekvationen", i det här fallet y''+6y'+10y=1-x^2, och se om det stämmer.

 

/tjoppas