Kombinering av sannolikheter som beror på varandra

[m4dh4tter]

Låt oss säga att jag har kommit på ett sätt att räkna ut sannolikheten för varje häst i ett lopp att komma etta och tvåa. Jag har ändå problem att sätta rätt sannolikhet på kombinationerna.

Nedan mitt resonemang:

 

För att det skall vara enkelt att kontrollera om resultatet är korrekt, tar vi ett lopp med bara 3 hästar (A, B och C). Nedan sannolikheten för varje hästa att komma 1:a, 2:a, 3:a

 

A B C

1:a 0,6 0,3 0,1

2:a 0,2 0,4 0,4

3:a 0,2 0,3 0,5

 

Första tanken var.

p(A1,B2) = 0.6*0.4 = 0,24

p(B1,A2) = 0,3*0,2 = 0,06

p(A1,C2) = 0,6*0,4 = 0,24

p(C1,A2) = 0,1*0,2 = 0,02

p(B1,C2) = 0,3*0,4 = 0,12

p(C1,B2) = 0,1*0,4 = 0,04

total sannolikhet 0,72

 

eftersom jag förstår att totala sannolikheten skall vara 1, så måste ngt vara fel.

 

 

Då försöker jag med följande:

Om A vinner så kan ju inte A också bli 2:a (betingad sannolikhet), därför tar jag i fallen med A som vinnare bort sannolikheten för att A skall bli 2:a och ökar sannolikheterna för B och C att bli 2:a.

Om A vinner blir sannolikheten för B att komma 2:a = 0,4 / (1 - 0,2) = 0,5.

Om B eller C vinner blir sannolikheten för A att bli 2:a = 0,2 / (1 - 0,4) = 0,33

 

Då får jag:

p(A1,B2) = 0.6*0.5 = 0,30

p(B1,A2) = 0,3*0,33 = 0,10

p(A1,C2) = 0,6*0,5 = 0,30

p(C1,A2) = 0,1*0,33 = 0,033

p(B1,C2) = 0,3*0,67 = 0,20

p(C1,B2) = 0,1*0,67 = 0,067

total sannolikhet 1,00

 

Ser ju bra ut... MEN!

Eftersom vi har facit i det första antagandet:

p(B1,C2) + p(C1,B2) = p(A blir 3:a) = 0,2 så finns det en tankelucka någonstans. Var???

 

 

 

[abnilsson]

Hej!

Sannolikhetsteori är absolut inte min starka sida, men jag kunde inte låta bli att klura lite. Jag kom fram till att för varje tal p mellan 0,3 och 0,4 så kommer följande sannolikheter stämma med din tabell

 

P(ABC) = p

P(ACB) = 0,6-p

P(BAC) = 0,5-p

P(BCA) = p-0,2

P(CAB) = p-0,3

P(CBA) = 0,4-p

 

Vi har tex P(A1) = p + (0,6-p) = 0,6 och P(B2) = p + (0,4-p) = 0,4 och P(C2) = (0,6-p) + (p-0,2) = 0,4 osv

 

[mongomatte]

Det är sent på dagen, skapligt trött. Men är sannolikhetstabellen verkligen möjlig? Borde inte sannolikheten för t.ex att häst A vinner och B blir tvåa vara lika med sannolikheten att häst A vinner när häst C blir trea?

 

'Lärdom känner ingen rang'

 

[m4dh4tter]

abnilsson,

 

förstår tyvärr inte alls vart du vill komma med ditt resonemang. Utveckla gärna...

 

[m4dh4tter]

Givetvis borde p(A1,B2) = p(A1,C3).

 

Jag har i mitt första inlägg inte räknat ut p(A1,C3).

 

Om jag fortsätter mitt försök med betingad sannolikhet så är:

p(A1,C3) = 0,6*0,5/0,8 = 0,375

vilket ju är skilt från

p(A1,B2) = 0,3 (se tidigare uträkning).

 

Då återstår lösningen... Hur räknar jag ut p(A1,B2) korrekt??

 

Tänk gärna på att det här är ett grovt förenklat fall. I de flesta fall är det 10-12 hästar och jag har bara tillgång till p(A1), p(A2), p(B1), p(B2) etc...

 

[PerboMan]

Rent intuitivt så känns det som om sannolikheterna i såna här fall inte går att hantera på detta sätt.

Sannolikheterna för olika placeringar här gäller bara för varje häst isolerat.

Om häst A är så mycket bättre att det är 60% chans att den vinner så är det visserligen för hästen 20% chans att den är tvåa, men i förhållande till hästarna B och C så måste det fortfarande vara större chans att den slår någon av dem. Alltså måste man utgå från hästarnas inbördes styrkeförhållanden vilket här ges av chansen att vinna.

ABC=>0,6*0,3/0,4=0,45

ACB=>0,6*0,1/0,4=0,15

BCA=>0,3*0,1/0,7=0,043

BAC=>0,3*0,6/0,7=0,257

CAB=>0,1*0,6/0,9=0,067

CBA=>0,1*0,3/0,9=0,033

 

Alltså är sannolikheten att A blir tvåa 0,324 och att den blir trea 0,076,

B tvåa 0,483 och B trea 0,217, samt C tvåa 0,193 och C trea 0,707.

 

Eller?

 

/Pär

 

 

[Pejo]

Hej,

 

Är definitivt ingen expert på sannolikhetslära, men tror att det du efterfrågar inte är möjligt.

 

Titta på den bifogade grafen. Där är alla möjligheter för de två av varandra beroende utfallen "etta" och "tvåa" utritade för ett lopp med de tre hästarna A, B, C. Varje streck motsvarar ett utfall med en viss sannolikhet. Om vi antar att det alltid finns en etta och en tvåa måste summan av alla streck från en punkt vara ett, dvs p(A1)+p(B1)+p(C1) = 1.

 

Observera att det finns två olika p(A2) och det finns inget som säger att de måste ha samma värde. Tvärtom, om du antar att p(A2) är detsamma oavsett som om B eller C vinner leder det till att p(A2)=p(B2)=p(C2)=0,5.

 

mvh

/Johan

 

[bild bifogad 2007-03-08 08:58:54 av Pejo]

[mongomatte]

Mycket intressant problem. Tycker att både Pejo och Perboman verkar ha vettiga ideér.

 

[m4dh4tter]

De antagna sannolikheterna är bara exempel med siffror som är lätta att räkna med.

Hur man skulle komma fram till korrekta siffror är förvisso högintressant (kom på det och du har ditt på det torra), men inte syftet med tråden.

 

Vill dock gärna kommentera att "i förhållande till hästarna B och C så måste det fortfarande vara större chans att den slår någon av dem" håller jag inte alls med om. Man bör ta hänsyn till att hästar har olika egenskaper. Vissa vinner ofta, men kan en dålig dag ta stryk av klent motstånd. Vissa har inte den mentala hårdheten som krävs för att vinna, men hänger mycket ofta med fram till framskjuten placering.

 

Ponera ett extremt fall att A är totalt överlägsen kapacitetsmässigt, men har dålig hals och orkar inte ens ta sig i mål om det är fuktigt ute. Då skulle fördelningen kunna vara

p(A1) = 0,80

p(A2) = 0,01

p(A3) = 0,19 (sannolikheten för regn i gbg).

 

Din modell för att extrapolera P(A2), P(C3) etc. m.h.a. p(A1), p(B1), p(C1) är intressant men jag tror inte på den.

 

Jag tycker att jag har en bra modell att uppskatta den första tabellen, men har inte kunnandet att tillämpa matematiken på den.

 

[PerboMan]

Visst hästar är inte mekaniska och detta 'villkor' går att föra in i min modell. Alltså A är bättre än B som är bättre än C, men när det gäller att kämpa om positioner efter vinnaren är C lite starkare än B, och definitivt starkare än A.

Det vill säga att sannolikheterna för platserna efter vinnaren är A 0,2 / B 0,3 / C 0,5

Då sätter vi in dessa värden i min modell:

ABC=>0,6*0,3/0,8=0,225

ACB=>0,6*0,5/0,8=0,375

BCA=>0,3*0,5/0,7=0,214

BAC=>0,3*0,2/0,7=0,086

CAB=>0,1*0,2/0,5=0,04

CBA=>0,1*0,3/0,5=0,06

Sannolikheten för andraplatser blir då A 0,126 / B 0,285 / C 0,589

 

Om man sen tar in vädret så får man förmodligen två nya uppsättningar styrkeförhållanden.

 

Och så tillkommer alla övriga hästar där vissa kanske har sannolikheter/styrkor ~0...

 

/Pär

Red:

Och det är de osannolika hästarna som ger storvinsterna...

[inlägget ändrat 2007-03-08 16:33:33 av PerboMan]

[abnilsson]

Hej igen!

Jag har varit bortrest och inte kunnat svara tidigare, men nu är jag tillbaka.

Det som var huvudpoängen i mitt tidigare svar var att den givna sannolikhetstabellen

 

A B C

1:a 0,6 0,3 0,1

2:a 0,2 0,4 0,4

3:a 0,2 0,3 0,5

 

 

ger utrymme för en del frihet. Jag menar att tex sannolikheten att A kommer 1:a, B 2:a och C 3:a (jag skriver detta som P(ABC)), går inte alls att beräkna utifrån denna tabell.

Det enda man faktiskt kan beräkna är ett intervall som sannolikheten P(ABC) ligger i (0,3-0,4). Däremot kan man aldrig beräkna den exakta sannolikheten att detta inträffar. Likadant med övriga utfall.

 

Man kan se detta tex om man ritar en bild av utfallsrummet och markerar sannolikheter i den. Jag ritade en cirkel, och delade först in den i tre tårtbitar som motsvarar A1, B1 och C1. Var och en av dessa bitar måste sedan delas i två. Tårtbiten A1 består av de två utfallen ABC och ACB, vars sammanlagda sannolikhet enligt den givna tabellen måste vara 0,6, dvs P(ABC)+P(ACB)=P(A1)=0,6. Inför nu den okända sannolikheten p enligt P(ABC)=p. Då måste alltså P(ACB)=0,6-p. Det underlättar att rita ut allt i bilden.

 

Vi vet också enligt tabellen att P(B2)=0,4, och eftersom P(B2)=P(ABC)+P(CBA)=p+P(CBA) så får vi P(CBA)=0,4-p.

På det här sättet kan vi nu fortsätta, och på så sätt uttrycka sannolikheterna för alla sex möjliga utfall med hjälp av den okända kvantiteten p (se mitt förra inlägg).

 

Det uppställda problemet har INTE en unik lösning med kända sannolikheter på varje möjligt utfall. Det finns oändligt många lösningar. I mitt fall låter jag p beteckna en okänd kvantitet, och för varje p mellan 0,3 och 0,4 fås en lösning.

[inlägget ändrat 2007-03-12 12:59:27 av abnilsson]

[m4dh4tter]

Det enda du gjort nu är väl ändrat grundförutsättningarna från

 

A B C

1:a 0,6 0,3 0,1

2:a 0,2 0,4 0,4

 

till

A B C

1:a 0,6 0,3 0,1

2:a 0,2 0,3 0,5

 

och räknat på samma sätt som jag. d.v.s felaktigt.

 

 

 

 

[m4dh4tter]

OK, då fattar jag va du menade. Kan inte säga emot.

 

[PerboMan]

Njae, det jag försöker visa är att det sannolikhetssamband som du försöker visa är fel, fast på ett annat sätt än abnilsson.

Det som du har i din tabell är mycket riktigt samma sak som jag använder fast med andra värden (och tredjeplatssannolikheten behövs inte alls när det bara är tre hästar i loppet). Denna tabell kan bara läsas horisontellt, och måste användas för att beräkna de verkliga placeringssannolikheterna.

Alltså om vi tar abnilssons tårtbitar och först delar efter vinnare:

P(Axx)=0,6

P(Bxx)=0,3

P(Cxx)=0,1

P(Axx) har två delar P(ABC) och P(ACB). Ditt angivna styrkeförhållande är att B och C är lika starka i kampen om andra platsen så:

P(ABC)=0,3

P(ACB)=0,3

Fortsätter vi blir det eftersom B och C är dubbelt så starka som A:

P(BAC)=0,1

P(BCA)=0,2

P(CAB)=0,033333333~0,03

P(CBA)=0,066666666~0,07

för att omvandla detta till en tabell där man kan utläsa de olika utfallen per häst så måste man summera P(xAx), P(xxA), etc.

Då blir det:

A B C

0,6 0,3 0,1

0,13 0,37 0,5

0,27 0,33 0,4

 

Denna tabell kan man bara läsa lodrätt.

 

Precis som du säger så är hästarnas förutsättningar olika beroende på väder, startspår, med mera, samt beroende på placering (jag antar att kuskens inställning också spelar roll).

Tabellen är alltså resultatet av att man känner hästarnas inbördes styrkor, och gäller för en given uppsättning villkor.

Vid andra villkor (annat väder, strukna hästar som ändrar startbilden, etc.) så måste tabellen genereras med nya värden.

Sen är det ju också självklart att när det blir dags att räkna på fler än tre hästar så måste uträkningen justeras.

Jag tror jag lugnt kan påstå att de bedömningar som olika experter levererar om odds för placeringar inte är uträknade på detta sätt, och därför inte användbara för omvända beräkningar (vilket också abnilsson förklarar i sitt inlägg).

 

/Pär B

 

[m4dh4tter]

"Njae, det jag försöker visa är att det sannolikhetssamband som du försöker visa är fel"

 

Jag försöker överhuvudtaget inte visa ngt sannolikhetssamband.