gränsvärdet..

[emma.maria]

Hej!

 

Har inom jobbet stött på ordet gränsvärde som för mig verkar helt obegripligt och väldigt svårt. Är det någon som vet svaret på dessa två funktioners gränsvärden?

 

(eh – 1)/h då h går mot 0 (eh = e upphöjt med h)

 

(1 – x2)/(1 - x) då x går mot 1 (x2 = x upphöjt med 2)

 

Skulle bli oerhört tacksam för hjälp!

 

 

[Cecilia]

Har du testat vad som händer med uttrycken då du sätter in allt mindre värden, t ex 0,5 0,1 0,01 resp. 0,5 0,9, 0,99

 

[Anjuna Moon]

Det är många som har det knöligt med gränsvärden i början och det blir ju inte lättare när det handlar om uttryck som i första försöket leder till ett obestämt uttryck.

 

I ditt första exempel går h mot 0, vilket innebär att hela uttrycket går mot

(e^0 - 1)/0 eller 0/0.

Eftersom 0/0 är nonsens inom matematik (eller ett obestämt uttryck) så bör man undersöka uttrycket närmare. Ofta blir det lättast om man undersöker det grafiskt först. När det gäller just (e^h - 1)/h så är det ett klassiskt exempel och här skall du börja med att göra en substitution:

 

t=1/(e^x - 1)

vilket ger

1 + 1/t = e^x

Logaritmera båda leden

x = log(1+1/t)

 

Eftersom vi nu har en variabel t, så måste vi undersöka åt vilket värde den går när x->0. Detta måste vi göra från varsin sida om y-axeln.

 

* När x->+0 så skall alltså uttrycket log(1+1/t) -> +0

Eftersom log(1)=0 så går alltså 1/t mot 0, vilket det gör när

t->+oo (oändligheten)

* Samma resonemenang för x->-0, vilket ger t -> -oo

----------------

Nu har vi alltså härlett ett nytt gränsvärde ur ditt ursprungliga.

(jag utelämnar +/- i gränserna nedan, det blir så rörigt annars)

lim[x->0] (e^x - 1)/x = lim[t->oo] 1 / t*log(1+1/t)

 

= [Använd logaritmlag för att skriva om nämnaren] =

lim[t->oo] 1 / log(1+1/t)^t

 

Eftersom konstanten e definieras som gränsvärdet lim[n->oo) (1+1/n)^n så används detta i gränsvärdet ovan, vilket ger

 

lim[t->oo] 1 / log(e) = 1

 

Svaret är alltså: 1

 

Nu blev jag så trött i huvudet, så jag orkar inte ge mig på det andra talet =)

 

EDIT : Skrev fel i substitutionen. Ändrat till t=1/(e^x - 1)

Tror det blev rätt nu rakt igenom

[inlägget ändrat 2007-02-25 17:34:45 av Anjuna Moon]

[xandas]

(1 – x2)/(1 - x) då x går mot 1 (x2 = x upphöjt med 2)

 

(1 – x2)/(1 - x) =(1+x)(1-x)/(1-x)= 1+x --> 2 då x -->1

 

Anjuna

I ditt första exempel går h mot 0, vilket innebär att hela uttrycket går mot

(e^0 - 1)/0 eller 0/0.

Eftersom 0/0 är nonsens inom matematik (eller ett obestämt uttryck) så bör man undersöka uttrycket närmare. Ofta blir det lättast om man undersöker det grafiskt först. När det gäller just (e^h - 1)/h så är det ett klassiskt exempel och här skall du börja med att göra en substitution:

 

en annan lösning är att serieutveckla e^h

 

e^h = 1 + h +h^2/2 + h^3/3! + ....... h^n/n!

 

då blir

 

(eh – 1)/h då h går mot 0 (eh = e upphöjt med h)

 

(e^h -1)/h = (1 + h + h^2/2 + ....+h^n/n! -1)/h

 

= h/h + h^2/(2h) +........+ h^(n-1)/n! --> 1 då h --> 0

 

 

 

[inlägget ändrat 2007-02-26 00:48:25 av xandas]

[inlägget ändrat 2007-02-26 00:50:31 av xandas]

[emma.maria]

Tack så jättemycket för hjälpen! Nu förstår man mycket mer..

 

[emma.maria]

Nej, men det ska jag absolut göra! Tack för all hjälp!

 

[emma.maria]

Ville bara tacka för all hjälp. Nu har begreppet gränsvärde klarnat betydligt mer!

 

[Anjuna Moon]

en annan lösning är att serieutveckla e^h

Jo, jag vet, men tänkte att MacLaurin och liknande låg ett snäpp högre upp på skalan och eftersom trådskaparen verkade lite ny på gränsvärden så valde substitutionsmetoden som lösningsförslag. Men visst, har man förstått serieutvecklingar så blir det ofta simplare så. Poäng för kompletteringen!