Partiell bråkuppdelning

[Boko101]

Hej, jag läser just nu differetial och integralkalkyleringar och har fastnat på en uppgift som jag inte vet riktigt hur man skall gå vidare.. Kanske någon kan ge mig ett litet tips hur jag skall gå tillväga.

 

 

Uppgiften ser ut så här:

 

Integralen av ( x + 10/ x • ( x + 3 )² dx = ?

 

jag började med att dela in detta i tre olika bråk --> A/x + B/x+3 + C/( x + 3 )²

 

rötter som jag hittade blev x = 0 för A/x och x = -3 för B/x+3 och C/( x + 3 )²

 

Sen bestämmer jag koefficenten A:

 

x + 10 / (x+3)( x + 3 )² = A + x • (...), sätter x = 0,

 

--> 10/ (o +3)(0 + 0 + ) = A + 0 • (...) <-- --> A = 10/27

 

Sen när jag skall bestämma B

 

x + 10/ x( x + 3 )² = B + (x+3) • (...) och sätter x = -3 så fungerar det inte... samma problem får jag när skall bestämma C... Finns det något annat sätt att dela upp bråket??

 

Är jätte tacksam för alla tips..

 

mvh Bosse

 

[inlägget ändrat 2007-02-17 11:42:15 av Boko101]

[abnilsson]

Ansatsen är ju rätt, dvs att skriva om bråket som A/x+B/(x+3)+C/(x+3)^2, men när konstanterna sen ska beräknas så skulle jag nog avråda från sådana där "genvägar". Ett enklare (och stabilare) alternativ är att helt enkelt skriva om ovanstående uttryck till ett enda bråk enligt:

 

A/x+B/(x+3)+C/(x+3)^2 = ( A(x+3)^2+Bx(x+3)+Cx )/(x(x+3)^2)

 

Sedan jämför man täljaren i detta uttryck med täljaren i det ursprungliga uttrycket, de måste ju vara lika.

 

A(x+3)^2+Bx(x+3)+Cx = x+10

 

Koefficienterna framför x^2-termen måste vara lika på båda sidorna, vilket ger

 

A+B = 0

 

Koefficienterna framför x-termen måste vara lika på båda sidorna, vilket ger

 

6A+3B+C = 1

 

Och slutligen, konstant-termen måste vara lika på båda sidorna, vilket ger

 

9A = 10

 

Tre ekvationer och tre okända variabler. Sista ekv. ger A=10/9, och detta i första ekv. ger B=-10/9, och slutligen fås C=-7/3.

 

 

[Boko101]

Tack för tipset.