Just nu i M3-nätverket
Jump to content

Hjälp med matematikuppgift - Matte E


Yonex

Recommended Posts

Hej allihopa!

 

Jag har tre matematikfrågor till jag har problem med. Jag skulle vara mycket tacksam om ni hade kunnat hjälpa mig med att lösa dessa, snarast. Jag ska ha prov på detta nu på onsdag (17:e januari) och är tacksam för all hjälp jag kan få.

 

Här kommer de tre frågorna.

 

1. Betrakta det område som begränsas av x-axeln och kurvan y=a²-x². Man låter detta område rotera, dels kring x-axeln, dels kring y-axeln. Bestäm den positiva konstanten a så att de båda rotationsvolymerna blir lika stora.

 

Jag har bifogat en bild på formler jag vet man ska använda sig av.

 

 

2. Tomten tränar slalom bakom Rudolf med röda mulen på samma sätt som en vattenskidåkare kan åka slalom. Matematiskt förenklat kan man beskriva tomtens bana som en sinusformad kurva, y=A sin kx, medan Rudolf rör sig längs x-axeln och tomten hela tiden dras fram av en kraft som har x-axelns riktning. Bojarna som tomten ska runda har lagts ut så att den sinusformade banan får amplituden A=6,0 meter och perioden 30 meter.

Vilken är tomtens största hastighet i banan om Rudolf farts hela tiden är 48 km/h?

 

3. Sir Isaac Newton är arg på den konkurrerande matematikern Gottfrid Wilhelm Leibniz och har bestämt sig för att puckla på honom ordentligt. Den gode Gottfrid har dock skyddat sig genom att bygga ett tre meter högt staket två meter från sin husvägg. Sir Isaac behöver därför en stege som han lutar över staketet för att nå fram till Gottfrids vägg.

 

a) Sir Isaac är ganska snål. (Han var vid ett tillfälle chef på det engelska myntverket.) Så för honom räcker det inte bara med att ta sig över staketet till väggen. Utan han vill ta med sig absolut så kort stege som möjligt. Vilken är längden på den kortaste stegen som når till väggen lutad över staketet?

 

B) När Sir Isaac har klättrat halvvägs över på sin stege så brakar staketet! Den övre delen av stegen glider då (p.g.a. friktionen) med den konstanta hastigheten 0.5 m/s ner längs husväggen. Med vilken hastighet lämnar den nedre delen av stegen husväggen, när den övre har glidit ner 1 m?

 

c) Anta att Gottfrid istället hade satt upp sitt staket a meter från husväggen och att staketet är b meter högt. Vilken blir då längden på den kortast möjliga stegen?

 

 

Tack så mycket på förhand!

 

Bästa hälsningar

Yonex

 

PS! Ni behöver inte svara på alla tre frågor nu på en gång. Har ni bara svaret på en fråga för tillfället är jag tacksam om jag bara får hjälp med den så länge :)

 

 

[bild bifogad 2007-01-15 20:23:30 av Yonex]

[inlägget ändrat 2007-01-15 20:23:58 av Yonex]

[inlägget ändrat 2007-01-15 20:35:39 av Yonex]

908839_thumb.jpg

Link to comment
Share on other sites

1. Använd de två ekvationerna i din bild för att få fram de två rotationsvolymerna.

Kring x: ersätt y i bildens ekvation med a^2-x^2 och kvadrera. Hitta gränserna, dvs minsta och största x-värdet. Dessa fås då y=0, x1=-a x2=a.

Integralen blir=16/15pi*a^5

 

Kring y: ersätt x^2 med a^2-y i bildens andra ekvation. Hitta gränserna, dvs då x=0. y1=0 y2=a^2.

Integralen blir=pi/2*a^4

 

sätt dessa lika och hitta a=15/32.

 

 

 

Link to comment
Share on other sites

Hej och välkommen till E-forum,

 

Det här gäller kanske inte dig överhuvudtaget, men när man ställer frågor i matematik-forumet är ett tips i all välmening att skriva lite hur man tänker själv. Dels hjälper det den som svarar att anpassa svaret, dels visar det att man inte bara är ute efter en färdig lösning utan är villig att göra lite arbete själv (vilket är avsikten med skolarbete :)). Personligen sprider jag hellre kunskap och insikt än färdiga lösningar.

 

Detta sagt är mitt svar på fråga 2:

 

Tomtens bana i rummet ges av y=Asin(kx), där variablerna kan bestämmas av de givna uppgifterna. Frågan är: Hur rör sig tomten med tiden?

 

Renens rörelse i tiden ges av x(t) = v*t, och eftersom vi har förenklat problemet genom att utelämna dragsnöret ger detta också tomtens rörelse i x-led. Nu svänger dock tomten, vad blir då y(t)?

 

Tomtens största hastighet i y-led får du genom att derivera y(t) och hitta max-värdet. Lägg sedan till den konstanta hastigheten i x-led för att erhålla den totala hastigheten (och glöm inte att hastigheter är vektorer).

 

 

mvh

/Johan

 

Link to comment
Share on other sites

Om du fortfarande är intresserad av lösningarna (trots att provet är över)...

 

Uppg 3:

Rita upp en triangel med basen x(t), höjden h(t), hypotenusan R och med vinkeln v(t). Du vill hitta ett utryck för R(v) som ska minimeras med derivatan=0, dvs längden på stegen är beroende av vinkeln den lutas med.

 

Då t=0 vet du att du även kan rita in en linje 2 meter från h(0) som i detta ögonblick är 3 meter hög. Där denna linje möter linjen R dras en linje mot h(0). På så sätt kan du urskilja två trianglar med gemensam vinkel, v. Den lilla triangeln har hypotenusan r och basen 2. Finn ekvationerna:

 

r*cosv=2

(R-r)*sinv=3

 

som tillsammans ger: R(v)=3/sinv + 2/cosv

R'(v)=derivatan av en kvot=-3cosv/(sinv^2) + 2sinv/(cosv^2)

Sätt = 0 och hitta v=v(0)=41,14 grader.

Beräkna R(41,14) för att finna R=Rmin=7,216. (svar på a)

 

B) du vet att h'(t)=-0,5 m/s vilket ger h(t)=-0,5t+c där c=h(0). h(0) hittar du genom ursprungstriangeln som h(0)=4,747.

h(t)=-0,5t + 4,747.

Frågan är hur snabbt x förändras då h(t) har minskat med 1 meter, detta sker då t=2, x'(2) söks alltså.

x(t)=pythagoras sats från ursprungstriangeln= sqrt(R^2 - h(t)^2)

 

Härifrån klarar du det med insättning av först h(t) och sedan derivera och sist insättning av t=2.

 

c) Se hur jag kom fram till R ovan och ersätt 2 och 3 med a och b på lämplig plats.

 

Link to comment
Share on other sites

Archived

This topic is now archived and is closed to further replies.



×
×
  • Create New...