Just nu i M3-nätverket
Gå till innehåll
pi:a

Absolutbelopp

Rekommendera Poster

pi:a

Om man ha ett komplext tal z = x + iy, och absolutbeloppet l z - bi l är mindre än eller lika med ett tal c, hur ska man räkna ut det största resp. minsta argumentet inom intervallet 0 och 2pi? Ex. l z - 4i l<=3

Tacksam för svar!

 

/pi:a

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
tjoppas

Svar på din fråga

En olikhet på formen l z - k l <= r, där k är komplext och r är reellt, motsvarar en cirkel i det komplexa talplanet med radien r och med mittpunkt i k. I ditt fall får du en cirkel med radien 3 med mittpunkt i 4i. Detta illustreras i bifogad figur. Variabeln z kan anta alla värden inne i cirkeln (det grå området) eftersom olikheten var mindre eller lika med. Hade det varit tvärtom hade området utanför cirkeln varit de värde z kunde anta. Vidare kan man se att triangeln på bilden har hypotunusan 4 och ena sidan 3. De två utritade vinklarna är lika stora.

 

Dessa vinklar blir arccos(3/4). Alltså argumentet på z kan röra sig mellan arccos(3/4) och pi - arccos(3/4). Eller i korthet:

 

arccos(3/4) < arg(z) < pi - arccos(3/4)

 

[bild bifogad 2007-01-09 15:56:43 av tjoppas]

 

Generell metod

Om man fortsätter och försöker utveckla en generell formel, kan man ju börja med att inse att om |k| < r kan z anta alla argument från 0 till 2*pi.

 

Om k = a + bi har mittpunkten i cirkeln argumentet arctan(b/a). Argumenten som z kan anta kommer ligga runt arg(k), alltså arg(z) = arg(k) +- v. Denna vinkel v är går att härleda ur figuren och är arcsin(r/|k|).

 

Resultat:

 

arg(k) - arcsin(r/|k|) < arg(z) < arg(k) + arcsin(r/|k|)

 

Tror detta ska stämma har dock inte kollat än...

 

EDIT 1:

Efter att ha testat lite känns det som detta ska stämma. Kom gärna med synpunkter på om får formeln att stämma eller ej. Ibland är lösingarna dock inte på intervallet [0, 2*pi], men då får man göra om det så det blir det.

 

Exempel: a=2, b=0, r=1 ger: -pi/6 < arg(z) < pi/6

Eftersom -pi/6 ligger utanför [0, 2*pi], får man göra om det till två intervall, ett från 0 till pi/2 och ett från 11*pi/6 (som är samma sak som -pi/6) till 2*pi. I korthet:

 

0 < arg(z) < pi/6 och 11*pi/6 < arg(z) < 2*pi

 

EDIT 2:

Märkte själv att det inte riktigt funkade för cirklar med mittpunkt i vänstra halvplanet. Detta beror på att tan(x) är pi-periodisk. Alltså för a>0 gäller formeln men annars måste man lägga till pi.

 

a > 0:

arg(k) - arcsin(r/|k|) < arg(z) < arg(k) + arcsin(r/|k|)

 

a < 0:

arg(k) - arcsin(r/|k|) + pi < arg(z) < arg(k) + arcsin(r/|k|) + pi

 

EDIT 3:

Kan ju ta upp fallet då a=0 också. Då blir arg(k)=pi/2. Detta kan man ju inte räkna ut med miniräknare eftersom man ska ta arctan(b/a) och b/a är ju oändligheten. Men arctan(oo) (arcustangens av oändligheten) är pi/2. Men arctan(-oo) är lika med -pi/2 därför om a=0 kommer även tecknet på b att spela roll.

 

a = 0 och b > 0:

pi/2 - arcsin(r/|k|) < arg(z) < pi/2 + arcsin(r/|k|)

 

a = 0 och b < 0:

3*pi/2 - arcsin(r/|k|) < arg(z) < 3*pi/2 + arcsin(r/|k|) + pi

 

[inlägget ändrat 2007-01-10 09:19:05 av tjoppas]

906257_thumb.jpg

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser

Skapa ett konto eller logga in för att kommentera

Du måste vara medlem för att kunna kommentera

Skapa ett konto

Skapa ett nytt konto på vårt forum. Det är lätt!

Registrera ett nytt konto

Logga in

Redan medlem? Logga in här.

Logga in nu



×
×
  • Skapa nytt...