Absolutbelopp

[pi:a]

Om man ha ett komplext tal z = x + iy, och absolutbeloppet l z - bi l är mindre än eller lika med ett tal c, hur ska man räkna ut det största resp. minsta argumentet inom intervallet 0 och 2pi? Ex. l z - 4i l<=3

Tacksam för svar!

 

/pi:a

 

[tjoppas]

Svar på din fråga

En olikhet på formen l z - k l <= r, där k är komplext och r är reellt, motsvarar en cirkel i det komplexa talplanet med radien r och med mittpunkt i k. I ditt fall får du en cirkel med radien 3 med mittpunkt i 4i. Detta illustreras i bifogad figur. Variabeln z kan anta alla värden inne i cirkeln (det grå området) eftersom olikheten var mindre eller lika med. Hade det varit tvärtom hade området utanför cirkeln varit de värde z kunde anta. Vidare kan man se att triangeln på bilden har hypotunusan 4 och ena sidan 3. De två utritade vinklarna är lika stora.

 

Dessa vinklar blir arccos(3/4). Alltså argumentet på z kan röra sig mellan arccos(3/4) och pi - arccos(3/4). Eller i korthet:

 

arccos(3/4) < arg(z) < pi - arccos(3/4)

 

[bild bifogad 2007-01-09 15:56:43 av tjoppas]

 

Generell metod

Om man fortsätter och försöker utveckla en generell formel, kan man ju börja med att inse att om |k| < r kan z anta alla argument från 0 till 2*pi.

 

Om k = a + bi har mittpunkten i cirkeln argumentet arctan(b/a). Argumenten som z kan anta kommer ligga runt arg(k), alltså arg(z) = arg(k) +- v. Denna vinkel v är går att härleda ur figuren och är arcsin(r/|k|).

 

Resultat:

 

arg(k) - arcsin(r/|k|) < arg(z) < arg(k) + arcsin(r/|k|)

 

Tror detta ska stämma har dock inte kollat än...

 

EDIT 1:

Efter att ha testat lite känns det som detta ska stämma. Kom gärna med synpunkter på om får formeln att stämma eller ej. Ibland är lösingarna dock inte på intervallet [0, 2*pi], men då får man göra om det så det blir det.

 

Exempel: a=2, b=0, r=1 ger: -pi/6 < arg(z) < pi/6

Eftersom -pi/6 ligger utanför [0, 2*pi], får man göra om det till två intervall, ett från 0 till pi/2 och ett från 11*pi/6 (som är samma sak som -pi/6) till 2*pi. I korthet:

 

0 < arg(z) < pi/6 och 11*pi/6 < arg(z) < 2*pi

 

EDIT 2:

Märkte själv att det inte riktigt funkade för cirklar med mittpunkt i vänstra halvplanet. Detta beror på att tan(x) är pi-periodisk. Alltså för a>0 gäller formeln men annars måste man lägga till pi.

 

a > 0:

arg(k) - arcsin(r/|k|) < arg(z) < arg(k) + arcsin(r/|k|)

 

a < 0:

arg(k) - arcsin(r/|k|) + pi < arg(z) < arg(k) + arcsin(r/|k|) + pi

 

EDIT 3:

Kan ju ta upp fallet då a=0 också. Då blir arg(k)=pi/2. Detta kan man ju inte räkna ut med miniräknare eftersom man ska ta arctan(b/a) och b/a är ju oändligheten. Men arctan(oo) (arcustangens av oändligheten) är pi/2. Men arctan(-oo) är lika med -pi/2 därför om a=0 kommer även tecknet på b att spela roll.

 

a = 0 och b > 0:

pi/2 - arcsin(r/|k|) < arg(z) < pi/2 + arcsin(r/|k|)

 

a = 0 och b < 0:

3*pi/2 - arcsin(r/|k|) < arg(z) < 3*pi/2 + arcsin(r/|k|) + pi

 

[inlägget ändrat 2007-01-10 09:19:05 av tjoppas]