Separabel diff.ekvation

[pi:a]

Hej!

När man löser en separabel differentialekvation:

 

Ex) dy/dx=2*roten av y

 

integral 1/2*roten av ydy =integral 2 dx

 

2*roten av y = 2x + C

 

Ska man då dela även konstanten C med 2? Teoretiskt sätt skulle man ju kunna placera 2:an utanför integraltecknet, så att den omfattar både x och C, och då får man ju att att

 

y = (x + C)^2, istället för y = (x + C/2)^2

 

Om man har randvillkoret y(1)=k, och utvecklar (x+C)^2 = x^2 + 2x^C + C^2 får man C^2 + 2C +1-k=0,

-->C = -1 ± roten av(1-(1-k)) = -1 ± roten av k

 

Hur kan man få två värden på C, och vilket ska man använda i ekvationen?

 

Blir y = x^2 + 2x(-1 ± roten av k) + (-1 ± roten av k)^2 ?

 

Hoppas någon kan hjälpa mig!

 

 

 

[inlägget ändrat 2007-01-09 10:57:33 av pi:a]

[tjoppas]

Det stämmer att du får två värden på C. Detta eftersom kurvan i fråga är av andra graden. Ett visst y-värde kan ha olika x-värden t ex:

 

y=x^2

y(-2) = y(2) = 4

 

Man vet alltså inte vilket "x-värde" villkoret y(1)=k hör till och därför erhålls två lösningar. Jag bifogar en bild där jag försöker visa detta. Skärningspunkten är y(1)=k.

 

[bild bifogad 2007-01-09 12:09:25 av tjoppas]

 

Det man kan tillägga är om villkoret istället var y'(1)=k (notera ':et) så skulle du fått en entydig lösning.

[inlägget ändrat 2007-01-09 12:33:40 av tjoppas]