Just nu i M3-nätverket
Jump to content

E^pi>pi^E


SimonNee

Recommended Posts

Hej. Har någon ett vettigt bevis för att E^pi>pi^E utan att bara påstå det självklara faktum att så är fallet. Läste i min programmeringsbok att det var ett standardproblem för en "honors calculus course", och har till mitt förtret ännu inte någon bra lösning.

 

Link to comment
Share on other sites

Det finns många olika typer av bevis men här är mitt. Om man använder ett bevis där man förutsätter att pi > e

 

e^pi>pi^e

ln(e^pi)>ln(pi^e)

pi*ln(e)>e*ln(pi)

pi>e*ln(pi)

pi/ln(pi)>e

 

Eftersom pi>e så är ln(pi)>1 och då är pi/ln(pi) < pi, vilket insatt i den sista olikheten ger följande olikheter:

(1) (2) (3)

pi > pi/ln(pi) > e

Eftersom både (1) > (2) är bevisat ur axiomet och (1) > (3) är axiomet så gäller även (2) > (3) och olikheten är bevisad.

 

 

 

Link to comment
Share on other sites

Ska göra ett försök, sen om det är vettigt det är ju en annan femma.

 

Jag börjar med att inse att pi > e. Jag gör om olikheten så det blir en funktion som ska vara större än noll.

 

f(x) = e^x - x^e > 0

 

Jag ska nu visa att detta är sant på intervallet ]e,oo[. (Det öppna intervallet e till oändligheten). Eftersom pi ligger i detta intervall är det sant även för f(pi).

 

e^x > x^e

x > e*ln(x)

 

g(x) = x - e*ln(x) > 0

g'(x) = 1 - e/x

 

Man kan nu se att g'(x) är positiv på ]e,oo[. Detta medför att g(x) är strängt växande på intervallet, alltså om g(e)>0 så är g(x)>0 på hela intervallet.

 

g(e) = 0, vilket inte är större än noll men jag tittar på det öppna intervallet och där är det större än noll. g(x)>0 medför också att f(x)>0 enligt ovan.

 

Alltså e^x > x^e på intervallet ]e,oo[ och därmed är e^pi > pi^e.

[inlägget ändrat 2007-01-05 15:16:26 av tjoppas]

Link to comment
Share on other sites

hmm, jag kan ha fel här men jag fattar inte riktig resonemanget du gör på slutet.

 

Eftersom pi>e så är ln(pi)>1 och då är pi/ln(pi) < pi, vilket insatt i den sista olikheten ger följande olikheter:

(1) (2) (3)

pi > pi/ln(pi) > e

Eftersom både (1) > (2) är bevisat ur axiomet och (1) > (3) är axiomet så gäller även (2) > (3) och olikheten är bevisad.

du säger att (1) > (2) alltså pi > pi/ln(pi) vilket är korrekt eftersom ln(pi)>1,

du säger oxå att (1) > (3) alltså pi>e är axiomet som ju oxå är sant,

men att dessa två skulle medföra (2) > (3) alltså pi/ln(pi) > e det förstår jag inte, kan mycket väl vara så kan du vara snäll att utveckla?

 

[inlägget ändrat 2007-01-05 15:01:09 av tjoppas]

Link to comment
Share on other sites

Archived

This topic is now archived and is closed to further replies.



×
×
  • Create New...