E^pi>pi^E

[SimonNee]

Hej. Har någon ett vettigt bevis för att E^pi>pi^E utan att bara påstå det självklara faktum att så är fallet. Läste i min programmeringsbok att det var ett standardproblem för en "honors calculus course", och har till mitt förtret ännu inte någon bra lösning.

 

[Anjuna Moon]

Det finns många olika typer av bevis men här är mitt. Om man använder ett bevis där man förutsätter att pi > e

 

e^pi>pi^e

ln(e^pi)>ln(pi^e)

pi*ln(e)>e*ln(pi)

pi>e*ln(pi)

pi/ln(pi)>e

 

Eftersom pi>e så är ln(pi)>1 och då är pi/ln(pi) < pi, vilket insatt i den sista olikheten ger följande olikheter:

(1) (2) (3)

pi > pi/ln(pi) > e

Eftersom både (1) > (2) är bevisat ur axiomet och (1) > (3) är axiomet så gäller även (2) > (3) och olikheten är bevisad.

 

 

 

[tjoppas]

Ska göra ett försök, sen om det är vettigt det är ju en annan femma.

 

Jag börjar med att inse att pi > e. Jag gör om olikheten så det blir en funktion som ska vara större än noll.

 

f(x) = e^x - x^e > 0

 

Jag ska nu visa att detta är sant på intervallet ]e,oo[. (Det öppna intervallet e till oändligheten). Eftersom pi ligger i detta intervall är det sant även för f(pi).

 

e^x > x^e

x > e*ln(x)

 

g(x) = x - e*ln(x) > 0

g'(x) = 1 - e/x

 

Man kan nu se att g'(x) är positiv på ]e,oo[. Detta medför att g(x) är strängt växande på intervallet, alltså om g(e)>0 så är g(x)>0 på hela intervallet.

 

g(e) = 0, vilket inte är större än noll men jag tittar på det öppna intervallet och där är det större än noll. g(x)>0 medför också att f(x)>0 enligt ovan.

 

Alltså e^x > x^e på intervallet ]e,oo[ och därmed är e^pi > pi^e.

[inlägget ändrat 2007-01-05 15:16:26 av tjoppas]

[tjoppas]

hmm, jag kan ha fel här men jag fattar inte riktig resonemanget du gör på slutet.

 

Eftersom pi>e så är ln(pi)>1 och då är pi/ln(pi) < pi, vilket insatt i den sista olikheten ger följande olikheter:

(1) (2) (3)

pi > pi/ln(pi) > e

Eftersom både (1) > (2) är bevisat ur axiomet och (1) > (3) är axiomet så gäller även (2) > (3) och olikheten är bevisad.

du säger att (1) > (2) alltså pi > pi/ln(pi) vilket är korrekt eftersom ln(pi)>1,

du säger oxå att (1) > (3) alltså pi>e är axiomet som ju oxå är sant,

men att dessa två skulle medföra (2) > (3) alltså pi/ln(pi) > e det förstår jag inte, kan mycket väl vara så kan du vara snäll att utveckla?

 

[inlägget ändrat 2007-01-05 15:01:09 av tjoppas]

[Anjuna Moon]

hmm, jag kan ha fel här men jag fattar inte riktig resonemanget du gör på slutet.

Mmm, jag ser vad du menar. Jag tänkte helt fel på slutet

 

[SimonNee]

Fint bevis! Tackar!