Just nu i M3-nätverket
Gå till innehåll
chris_x

Vad sägs om en householderspegling??? Ngn som har koll??

Rekommendera Poster

chris_x

Tja,

 

Sitter och klurar på ett litet matematikproblem här.. Om ngn är intresserad ser det ut så här:

 

Householderspegling ges av den linjära avbildningen

 

T(x) = x - 2 * (x * v)/(v * v) * v

 

Bestäm avbildningsmatrisen (dvs matrisen A så att T(x) = Ax) för householderspeglingen då v = [1 2 -1] Bestäm sedan det x så att T(x) = [5 1 1]

 

Funderar lite på om jag får fel matris (matrisen A) då jag verkar få ett galet x i slutet av mina beräkningar.

 

Tacksam för hjälp här

 

Mvh Chris_x

 

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
Fredrik_81

Hej Chris_x!

 

Jag tycker inte riktigt avbildningen

 

T(x) = x - 2 * (x * v)/(v * v) * v

 

stämmer om den ska beskriva en Householderspegling utan den ska istället vara

 

T(x) = x - 2 * (v' * x) / (v' * v) * v

 

där apostrofen (') betyder hermitesk konjugering (eller vanligt transponat i ditt fall eftersom det är reella tal) samt att x och v förutsätts vara kollonvektorer.

 

Formeln för att beräkna A i

 

T(x) = Ax

 

ges av

 

A = I - 2 * (u * u') / (u' * u)

 

där I är enhetsmatrisen.

 

 

 

När det sedan gäller att bestämma x ur Ax = b så är det bara at invertera eftersom A alltid är inverterbar.

 

 

Fredrik

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
chris_x

Tack Fredrik för ditt svar,

 

Jag har fått förslag på en annan lösning här och det skulle vara intressant att höra vad du tycker om denna lösning på problemet:

 

Om v = [v1 v2 v3] (= [1 2 -1]), får 2 ((x * v)/(v * v)) v komponenterna 2 ((x * v)/(v * v)) vN, för N = 1, 2, 3.

 

Detta uttryck kan möbleras om som

2 ((x * v)/(v * v)) vN = (2 vN v/(v*v)) * x = (2/(v*v)) vN v * x

vilket ger att matrisen för den termen kan skrivas

 

1: [2 v1 v/(v*v)] [v1 v1, v1 v2, v1 v3]

2: (2/(v*v)) [2 v2 v/(v*v)] = (2/(v*v)) [v2 v1, v2 v2, v2 v3]

3: [2 v3 v/(v*v)] [v3 v1, v3 v2, v3 v3]

 

 

Om ovanstående matris betecknas A, får vi alltså

T(x) = I x - A x = (I - A) x,

dvs T = I - A.

 

Eftersom 2/(v*v) = 1/3, blir svaret

 

1: [1 - v1 v1/3, - v1 v2/3, - v1 v3/3]

2: T = [-v2 v1/3, 1 - v2 v2/3, - v2 v3/3]

3: [- v3 v1/3, - v3 v2/3, 1 - v3 v3/3]

 

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
chris_x

Ser dock att när jag lägger in matriserna så blir de lite aviga...

 

De båda matriserna ser ut så här:

 

 

 

 

 

 

[bild bifogad 2006-09-17 15:31:33 av chris_x]

865748_thumb.jpg

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
Fredrik_81

Hallå igen Chris_x.

 

 

Jag är inte riktigt med när du du börjar skriva upp

 

1: [2 v1 v/(v*v)] [v1 v1, v1 v2, v1 v3]

2: (2/(v*v)) [2 v2 v/(v*v)] = (2/(v*v)) [v2 v1, v2 v2, v2 v3]

3: [2 v3 v/(v*v)] [v3 v1, v3 v2, v3 v3]

 

Jag ser inte vilken form dessa uttrycken har. Till exempel i den första så skriver du

 

[2 v1 v/(v*v)]

 

där jag tolkar 2 och v1 som tal medan v/(v*v) är en vektor (och v*v är ett tal). Jag förstå inte vad det ska bli i slutändan. Det är lite svårt att läsa när du skriver v*v eftersom v'*v och v*v' är två skillda saker, den ena ett tal och den andra en matris.

 

 

 

En rättelse till min förra kommentar: Jag råkade skriva u istället för v i formeln ovan.

 

 

Fredrik

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
chris_x

Jag såg att matriserna blev skumma när jag skrev de på forumet,

 

Försökte klargöra dessa genom att bifoga en bild i meddelandet jag skrev 15.31 i dag. Kika på denna om du har tid och lust.

 

Mvh Chris_x

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
Fredrik_81

Jag såg denna innan men jag blev inte klokare av det. Även här har du skrivit [2 v1 v/(v*v)] som jag inte riktigt förstår.

 

Vad är [v1 v1, v1 v2, v1 v3]? Är detta en matris eller vad är det för något?

 

 

Fredrik

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
chris_x

Nu är det tyvärr så att det är inte jag personligen som har tagit fram den här lösningen utan det var en kamrat till mig. Har försökt få tag på honom och få en mer grundlig förklaring men utan lycka.. återkommer när jag får en bättre bild av hans svar..

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
chris_x

Hej igen,

 

Jag sitter och kämpar med det här talet i dag också och har lite svårt för det här:

 

T(x) = x - 2 * (v' * x) / (v' * v) * v

 

där apostrofen (') betyder hermitesk konjugering (eller vanligt transponat i ditt fall eftersom det är reella tal) samt att x och v förutsätts vara kollonvektorer.

 

Hur skapar man transponatet av en vektor?

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
Fredrik_81

Hej,

 

 

Jag förutsätter att v är en kolonnvektor det vill säga

 

( v1 ) ( 1 )

v = ( v2 ) = ( 2 )

( v3 ) ( -1)

 

(Hoppas du förstår vad jag menar med detta. Det är svårt att skriva matriser så här utan tabell)

 

Denna vektor v kan också skrivas som

 

v = (v1 v2 v3)' = (1 2 -1)'

 

där apostrofen beteckar transponat. Obervera att v fortfarande är en kolonnvektor och skrivsättet ovan är bra om man ska spara utrymme när man skriver. Jämför det jag skrev ovan. I uppfiften ingår det dock att beräkna v' som då blir en radvektor

 

v' = (v1 v2 v3) = (1 2 -1)

 

När du ska beräkna v' * v så blir detta ett tal, nämligen

 

v' * v = v1^2 + v2^2 + v3^2

 

medan v * v' blir en matris. Den är ganska lätt att beräkna så det får du prova med själv.

 

 

Fredrik

 

[inlägget ändrat 2006-09-18 21:47:19 av Fredrik_81]

[inlägget ändrat 2006-09-18 21:48:59 av Fredrik_81]

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
chris_x

Hej,

 

Jag läste precis ditt mail och det här rätade ut en del frågetecken men inte alla...:)

 

Jag har alltså:

 

A = I - 2 * (u * u') / (u' * u)

 

vilket ger:

 

v' * v = 6

 

Medan v * v' ska vara en matris... hur ser den matrisen ut? är det helt enkelt [1 4 1] ?

 

Har vi därefter:

 

A = I - 2 * 6/[1 4 1]

 

Om man nu ska utföra division mellan matriser, ska man ju multiplicera ena matrisen med inversen av den andra. Hur blir det när man delar ett tal med en matris?

 

Tack igen

 

Mvh Chris_x

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
chris_x

sorry jag skrev visst fel ska ju vara:

 

A = I - 2 * [1 4 1]/6

 

Då kanske inte samma problem uppstår...

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser
chris_x

Ahaaaa

 

Tror att jag har löst det hela...

 

STORT TACK FREDRIK

 

Mvh Chris_x

 

Dela detta inlägg


Länk till inlägg
Dela på andra webbplatser

Skapa ett konto eller logga in för att kommentera

Du måste vara medlem för att kunna kommentera

Skapa ett konto

Skapa ett nytt konto på vårt forum. Det är lätt!

Registrera ett nytt konto

Logga in

Redan medlem? Logga in här.

Logga in nu



×
×
  • Skapa nytt...