Nybörjare, Integraler.

[Dennis45]

Hejsan

 

Jag har haft problem med integraler i kurs D nu ett tag,och jag skulle behöva lite hjälp med dem.

 

t.ex;

 

Om jag ska beräkna arean av det område som begränsas av funktionerna f(x)=x^2+x+1 och g(x)=9-1

 

Jag vet t.ex att man först bör sätta f(x)=g(x). vilket ger mig gränsvärdena. Men jag är osäker på vad det betyder och vet inte hur man gör i praktiken, så jag kan inte få fram dessa gränsvärden!

 

Hjälp vore uppskattad.

 

 

 

 

 

[Anjuna Moon]

Det enklaste när man är nybörjare i sådana här problem är att rita upp båda kurvorna först. Sedan hjälper det ju förstås om du hanterar att lösa andragradsekvationer för just det här problemet, vilket jag antar att du gör. Då borde ju inte f(x)=g(x) vara så svår att lösa.

 

[Dennis45]

Jag är usel på andragradsekvationer!

 

[Anjuna Moon]

Nå, det finns ju en enkel formel för att lösa dessa (se bild), använd den.

Den gäller då du reducerat koefficienten för x² till 1. Skriv alltså om ekvationen på formen x²+px+q=0 så får du ut två rötter med ekvationen jag bifogade. Det är dessa två punkter som är skärningspunkterna mellan de två kurvorna och således de gränsvärden du skall använda i integralen.

 

 

 

 

 

[bild bifogad 2006-05-05 12:10:48 av Anjuna Moon]

[Dennis45]

Ok, ska försöka lösa det nu. Kommer med mitt resultat sen ifall det blir problem.

 

Men hur kommer de primitiva funktionerna se ut av funktionen? Så jag är säker på de när jag lägger till integralens gränsvärden och räknar ut.

[inlägget ändrat 2006-05-05 12:37:01 av Dennis45]

[Dennis45]

Tänker jag rätt när jag använder primitiv funktion till x^2+x+1 och 9-x, om jag får ut x^3/3 +1+x och 9x-1?

 

[inlägget ändrat 2006-05-05 15:14:05 av Dennis45]

[Dennis45]

Den gäller då du reducerat koefficienten för x² till 1. Skriv alltså om ekvationen på formen x²+px+q=0

 

Det vet jag, men det jag har problem med är att skriva om det så det passar in på x²+px+q=0.

 

[Anjuna Moon]

Tänker jag rätt när jag använder primitiv funktion till x^2+x+1 och 9-x, om jag får ut x^3/3 +1+x och 9x-1?

Nä, du deriverar och integrerar vartomannat där.

 

Ta det del för del:

 

x^2 : Där gjorde du rätt, öka exponenten med ett och dela med den nya exponenten

 

x : Där deriverade du istället, vilket helt korrekt isåfall ger 1. Här skall du göra samma sak. Öka exponenten med 1 och dela med nya exponenten. Eftersom x är samma sak som x^1 så får du x^2/2 där.

 

1: Här integrerade du rätt, eftersom 1 är samma sak som 1*x^0 vilket enl. ovan integrerar till 1* (x^1/1) = x

 

Givet detta, försök igen med integreringen av 9-x (där du gjorde ett misstag enligt ovan, vilket får du hitta själv =)

 

[inlägget ändrat 2006-05-05 17:00:03 av Anjuna Moon]

[Dennis45]

Ok, så den primitiva funktionen ska vara;

 

x^3/3+x^2/2+x

 

och

 

9x-x^2/2?

 

 

Om det är korrekt så återstår själva f(x)=g(x), vilket jag inte verkar kunna lösa ut korrekt.

 

Jag fick fram integralens gränsvärden till -2 och 2, och sedan till 4 och -2.

 

Men det verkar fel. Vad gör jag för fel?

 

[Anjuna Moon]

Nja, i det här fallet behöver du bara integrera den ena (andragrads) kurvan. Primitiva funktionen av 9x-1 var bara för att se att du hängde med i vad jag sade.

 

Om du ritar upp båda kurvorna så kommer du se att svaret ligger i att du först beräknar arean under en av kurvorna och sedan drar bort arean av den andra. Arean av 9x-1 är inget annat än en triangel, så denna kan du beräkna utan integral.

 

Så, beräkna arean av andragradsfunktionen med de gränsvärden du fick fram tidigare. Försök sedan hitta vilken del av den andra arean som behöver dras ifrån av denna (alltså, än en gång, rita upp båda kurvorna så du ser vilken area som efterfrågas. Det blir alltid lättare så när man är ovan)

 

[inlägget ändrat 2006-05-05 21:32:58 av Anjuna Moon]

[Dennis45]

Använde -2 och 4 i x^3/3+x^2+x och fick fram 40?

 

Sen ska jag ta det minus den andra arean?

 

Jag tittade på grafen för att försöka lista ut arean av g(x)=9-x som du sa, men jag förstår inte riktigt hur jag ska göra det!

 

OBS! F.ö så står det fel i den första posten. Det ska vara g(x)=9-x och inte 9-1

[inlägget ändrat 2006-05-06 12:31:46 av Dennis45]

[Dennis45]

Ingen som kan hjälpa mig? =(