2st relativt enkla Frågor

[Dennis45]

Tjenare. Jag har två saker som jag undrar över, och det är följande;

 

Det stod att man skulle fullständigt lösa ekvationen (i grader) 2tanx/2 = 1, och jag fick fram 180 grader, stämmer det, eller har jag glömt något?

 

 

Den andra frågan är att jag behöver kunna visa att y=x*lnx är en lösning till differentialekvationen y'-(y/x)-1=0, men jag vet inte hur man gör.

 

All hjälp vore uppskattad!

 

[MC-1]

Allt är enkelt när man kan det.

 

Ett tips är att om du ritar upp enhetscirkeln och tänker hur man löser tangens så ser du att du kommer att få två vinklar. (Titta gärna också i en tabell med trigonometriska funktioner så ser du kanske lite lättare.) sin(-x) = - sin(x) och cos(-x) = cos(x).

Du skall därför få två vinklar i ditt svar, om du skall lösa det fullständigt.

 

Om du har skrivit rätt formel så blir lösningen så här:

 

2*tan(x)/2 = 1

tan(x) = 1

=> x = tan^-1(1)

x1 = 45 grader

x2 = 225 grader

 

Om det skulle vara 2*tan(x/2) så blir lösningsgången på samma sätt.

 

------------------------------------------------------------

 

Jag misstänker att du gör samma fel som många andra studerande, nämligen att inte läsa teoriboken...?

Nåväl, så här löser man man en differentialekvation av formen y´ + g(x)*y = h(x) :

 

Först bestämmer man en primitiv funktion till g(x), kallad G(x).

Därefter multiplicerar man båda sidor med en sk integrerande faktor e^G(x).

=> y´*e^G(x) + g(x)*e^G(x)*y = h(x)*e^G(x)

 

Nästa steg behöver du tänka igenom lite(!), men du får följande i vänsterledet:

( y*e^G(x) )´ = h(x)*e^G(x) , (Derivera vänsterledet så ser du att du kommer att få samma som ovan.)

=> y*e^G(x) = I h(x)*e^G(x) dx + C , (I = Integraltecknet)

=> y = e^-G(x)*( I h(x)*e^G(x) dx + C) ger alla lösningar för y.

Lös integralen.

För att få en lösning sätter du sedan samtliga konstanterna C valfritt, så att du får det uttryck du skulle visa.

I ditt tal är h(x)=1. OBS att -ln(x) = ln(x)^-1 = ln(1/x) och att e^ln(x) = x .

 

 

 

Hör gärna av dig om du fick ut ekvationen, eller om du behöver mer hjälp. (Det är alltid positivt att få lite feedback om man lyckades hjälpa till.)

 

Lycka till!

 

 

[inlägget ändrat 2006-04-22 21:10:46 av MC-1]

[Dennis45]

Tog du 180+45 där för x2? Varför det?

 

[Dennis45]

Ok jag fick det till

 

2tan(x/2) = 1

tan(x/2) = 1/2

x/2 = tan-¹ (1/2)

x/2 = 0.463... + πn

x = 0.927... + 2πn

 

och 0.927 är motsvarande 53grader.

 

Är det rätt?

 

 

[inlägget ändrat 2006-04-22 22:16:07 av Dennis45]

[MC-1]

Tangensfunktionen är periodisk med perioden pi. tan(x) = tan(x+pi).

Rita gärna upp en liten skiss. a/b (första kvadranten) och -a/-b (tredje kvadranten). Du måste således lägga till 180 grader (pi) för att få andra vinkeln.

 

--------------------------------------------------------------

 

Ja, det ska vara rätt. (första vinkeln).

 

 

[inlägget ändrat 2006-04-22 23:39:07 av MC-1]

[Dennis45]

så svaret på frågan ska vara;

 

x1 = 53 grader

x2 = 233 grader

 

??

 

[MC-1]

Ja, det är rätt.

 

 

[Roberth Asplund]

Varför krångla till lösningen till diffekvationen? Svaret var ju givet så det är väl bara att testa?

 

y=x*lnx

y'=lnx+1

 

y'-(y/x)-1=lnx+1-(x*lnx/x)-1=lnx+1-lnx-1=0

 

y är en lösning!

 

Visst det är nyttigt att kunna lösa ekvationerna uttryckligen men det kan också vara en nyttig insikt att diffekvationer är alltid mycket svårare att lösa än det är att testa en potentiell lösning.