Primitiv funktion

[noijan]

skulle behöva hjälp med att ta ut den primitiva funktionen

till f(h) = (h(2r-h))^½ med avseende på h

 

[Vanjis]

Det går att lösa med partiell integration. Då gäller att integralen (primitiva funktionen) av f(h)*g(h) = F(h)*g(h) -(minus) Integralen av F(h)*g'(h). I detta fall kan du välja g(h)=h och f(h)=(2r-h)^1/2 så att g'(h)=1 och F(h) = -2/3(2r-h)^3/2.

Detta ger:

 

-2/3h(2r-h)^3/2 - Integralen av (-2/3(2r-h)^3/2) =

= -2/3h(2r-h)^3/2 - 2/3*2/5(2r-h)^5/2 =

= -2/3h(2r-h)^3/2 - 4/15(2r-h)^5/2 =

= -2/3(2r-h)^3/2*[h+2/5(2r-h)]

 

Partiell integration är en väldigt användbar metod.

 

[Einar Zettergren]

Men var inte den första h-faktorn också med under rottecknet? Då blir det inte fullt lika enkelt.

 

[jan_indian]

Hejsan.

 

Din integral verka väldigt svår att räkna ut (vad jag vet). Men jag hittade den i en tabell under "miscellanous algebraic integrals".

Där primitivfunktion till integralen av sqrt(2rh-h^2) =

 

sqrt(2rh-h^2)*(h-r)/2+(arcsin((h-r)/r))*r^2/2+C (r>0)

 

Mvh Jan

 

[Vanjis]

Jag missade visst att h var i roten precis som Einar skrev. Det svar du Jan hittat stämmer bra. Lösningen är något komplicerad och kräver substitution i flera steg.

 

I betecknar integral i min lösning.

 

I[sqrt(2rh-h^2)]dh = I[sqrt(-(h-r)^2+r^2)]dh

 

Sätt h-r=x, dx/dh=1 dvs dh=dx

 

Integralen är nu: I[sqrt(-x^2+r^2)]dx

 

Sätt x=r*sint, dx/dt=r*cost så att dx=r*cost dt. Detta ger sqrt(-x^2+r^2) = r*cost. Ersätt denna term samt dx ger:

 

I[r*cost*r*cost]dt = r^2 I[cos^2(t)]dt = {cos^2(t)=1+cos(2t)} =

r^2 I[1+cos(2t)]dt = r^2/2[t+1/2sin(2t)] +C

 

Nu har vi löst integralen men måste återgå till den ursprungliga variabeln, först x sen h.

 

x=r*sint => t=arcsin(x/r), insättning ger:

 

r^2/2[arcsin(x/r)+1/2sin(2arcsin(x/r))] +C

= {sin(2a)=2sina*cosa} "kommentar"

= r^2/2[arcsin(x/r)+sin(arcsin(x/r))*cos(arcsin(x/r))] +C

= {cosa=sqrt(1-sin^2(a))} "kommentar"

= r^2/2arcsin(x/r) + r^2/2*x/r*sqrt(1-x^2/r^2) +C

 

Ersättning av x=h-r ger sen svaret som Jan skrev, dvs

 

(h-r)/2*sqrt(2rh-h^2)+r^2/2*(arcsin((h-r)/r))+C h>0

 

Om h<0 ger ett minustecken då cos görs om till sin, dvs

cosa=-sqrt(1-sin^2(a))

 

Hoppas du hängde med i allt!

 

Mvh

/Vanja

 

 

[jan_indian]

Helt otroligt, du är kung Vanja !!!

 

[Vanjis]

Tack, vad snäll du är!