Förändring av cylindervolym

[1066]

En rak cylinder har vid tidpunkten t0 radien 1dm och höjden 2dm. Radien minskar med en hastighet av 1mm/s och höjden ökar med en hastighet av 2mm/s. Hur förändras volymen vid punkten t0?

 

Hur löser man detta? Volymen är ju V=PI*r^2*h.

Man söker dV/dt så mycket vet jag. dh/dt=2 och dr/dt=-1, men hur kopplas detta ihop?

 

[Pejo]

Hej,

 

Lite osäker, men jag tror att du kan resonera så här.

 

Titta på radien och höjden vid tidpunkten t1 = t0 + dt.

 

r1 = r0-a*dt

h1 = ho+b*dt

 

där a och b är ändringshastigheterna.

 

Volymen vid t1 blir då

 

V1 = pi*r1^2*h1

 

och skillnaden i volym mellan t1 och t0:

 

dV = V1 - V0 =

= pi*r1^2*h1 - pi*r0^2*h0 =

= pi[(r0-a*dt)^2*(h0+b*dt) - r0^2*h0]

 

utveckling av detta uttryck ger ett antal termer och jag har för mig att termer innehållande dt^2 kan ignoreras då dt ska gå mot 0. Division med dt på bägge sidor ger sedan dV/dt. (I princip använder vi här bara definitionen av derivata för V(t) vid t0.)

 

mvh

/Johan

 

[Vanjis]

Jag är lite osäker på om jag fått till det rätt. Ska svaret vara 0,02 dm^3/s (20000 mm^3/s)? I så fall kan jag skriva hur jag gjorde...