Direkt formel för största volym på en låda

[wmaster]

Anta att du har en rektangulär area med längden a och bredden b. Där klipper vi sedan bort kvadrater med längden x från samtliga hörn så att vi kan vika upp kanterna till en låda.

 

Jag är ute efter en formel så att man direkt från de givna värdena från a och b kan beräkna vilket värde på x som ger den största volymen, men jag får inte riktigt till det.

 

Om man sätter upp ett uttryck för lådans volym och deriverar funktionen så får man ju lutningen på kurvan (dvs grafens lutning för denna volymfunktion). Vidare, om man sätter denna derivata till noll får man en maximipunkt/minimipunkt eftersom där är lutningen 0. Men jag kommer inte längre när jag ska försöka lösa ut x ur det uttrycket, blir bara "grötigt". Någon som får ut det hela eller har jag tänkt galet?

 

[wmaster]

jag får iaf volym-funktionen så här:

Bottenarea: (a-2x)(b-2x)=ab-2ax-2bx+4x^2

Volym: ab-2ax-2bx+4x^2)=abx-2ax^2-2bx^2+4x^3

 

vidare

 

f'(x)=ab+4ax-4bx+12x^2

 

som sätts till 0:

 

ab+4ax-4bx+12x^2 = 0

 

Och här jag ska lösa ut x hade jag tänkt...eller har jag verkligen fått till rätt formel från början?

 

x ska alltså motsvara en sida på de kvadrater som klipps bort om jag inte sa det..

 

[Anjuna Moon]

f'(x)=ab+4ax-4bx+12x^2

Teckenfel framför 4ax, f'(x)=ab-4ax-4bx+12x^2

 

Och här jag ska lösa ut x hade jag tänkt

Jo, det är ju en vanlig andragradsekvation. Om jag inte räknat helt tokigt blir lösningen på denna:

 

x=( (a++/-sqrt[ (a-^2 +ab ] )/6

 

 

 

[wmaster]

Aha, se där! Tack för hjälpen....såg inte felet! Tackar

 

[wmaster]

Hm...såg att det där teckenfelet bara var något jag hade skrivit här i forumet...har rätt i mina uträkningar men kommer fortf. inte fram till samma formel som du fick ut....skulle du kunna visa stegen när du löser ut x?

 

[Anjuna Moon]

Ok, du har följande:

 

12x²-4(a+b)x+ab=0

 

Enl. formel för andragradare fås

 

x=1/24 * [ 4(a+±SQRT(16(a+²-48ab) ]

x=1/24 * [ 4(a+±SQRT(16a²+16b²+32ab-48ab) ]

x=1/24 * [ 4(a+±SQRT(16a²+16b²-16ab) ]

x=1/24 * [ 4(a+±SQRT(16*(a²+b²-ab)) ]

x=1/24 * [ 4(a+±4*SQRT(a²+b²-ab) ]

x=1/24 * [ 4(a+±4*SQRT( (a-²+ab ]

x=1/6 * [ (a+±SQRT( (a-²+ab ]