Matte problem som jag inte vet hur jag ska göra med?

[Venzorn]

JAg har fått ett problem i min matte kurs på D nivån. Uppgiften är:

Lös fullständigt ekvationen sin2x=sin(x+60). Och jag kan inte komma på hur jag ska göra.

Skulle vara tacksam om någon kunde hjälpa mig med detta problem.

/Venzorn

 

[Anjuna Moon]

Rent spontant skulle jag säga

x=60+n*360

 

[Venzorn]

Nej men det är ju sin 2x inte sin x. Men tack iaf

 

 

[Vanjis]

Anjuna Moon hade rätt i sitt spontana tänk med sin2x. Ytterligare lösning finns eftersom sinus även ger lösning för 180-x+360n. 2x=x+60+360n ger lösning x=60+360n men även 2x=180-(x+60)+360n =>

3x=120+360n => x=40+120n

Dvs samtliga lösningar ges av x=60+360n och x=40+120n.

 

[inlägget ändrat 2005-10-16 03:39:33 av Vanjis]

[Venzorn]

Ok

Jag förstår ni har båda två rätt och om jag använder en grafisk räknare så kan jag komma fram till det också. Men min lärare vill veta hur man kommer fram till det i olika steg.

 

Jag är taksam för hjälpen och har också fått ett till problem.

 

Jag kan inte komma på hur man räknar ut: 4 sin x + 3 cos x = 5

 

Tack på förhand.

 

[Vanjis]

Eftersom samtliga lösningar till sinv=a ges av

v=arcsina+360n och 180-arcsina+360n fås samtliga lösningar till

sin2x=sin(x+60) genom:

2x=arcsin(sin(x+60))+360n och 2x=180-arcsin(sin(x+60)) alltså som jag skrev:

2x=x+60+360n ger lösning x=60+360n men även 2x=180-(x+60)+360n =>

3x=120+360n => x=40+120n

Dvs samtliga lösningar ges av x=60+360n och x=40+120n

 

Samma resultat hade fåtts "från andra hållet" också eftersom n kan vara negativt:

x+60=arcsin(sin2x)+360n=2x+360n och

x+60=180-arcsin(sin2x)+360n=180-2x+360n

Bryt ut x.

 

Ditt andra problem löses genom att kvadrera båda sidor och sedan dividera med (cosx)^2 och utnyttja att (sinx)^2+(cosx)^2=1. Då fås en ekvation med tanx och (tanx)^2. tanx sätts till y och lösningen till tanx fås ur andragradsekvationen. dvs x=arctan(y)+180n där n är heltal.

Det är vanligt att man utnyttjar trigonometriska ettan och division med cosx (för att få tanx) för att lösa ekvationer av detta slag.