Derivera?

[KGHKGH]

Hejsan!

Jag går i gmnasiet första året. Jag har kommit ganska långt i matematik.

Häromdagen räknade vi några uppgifter ich när jag frågade min lärare vad vi hade gjort sa hon att vi hade räknat ut derivatan. Men jag fattar ändå inte riktigt vad det var vi gjorde, så jag undrar om någoon skulle vilja förklara för mig vad derivera är och kasnke ge några olika exempel, första är det lättste och sen blir dem lite svårare och svårare.

 

//KGH

 

[KGHKGH]

Kan du berätta för mig då??

 

[UFF]

Innehållet i inlägget raderat av moderator. På eforum beter vi oss hövligt mot varandra, inte så som trådskaparen UFF.

 

 

Cloudberry, moderator för Matematik

 

[inlägget ändrat 2005-10-09 23:18:00 av Cloudberry]

[Monshi]

Derivata av en funktion innebär en beräkning av en förändring kan man säga.

 

Deriverar du hastighet med avseende på tiden så får du accelerationen.

Dvs derivatan av m/s => m/s^2

 

 

http://susning.nu/Derivata

 

 

/T

 

Even when we know we´ll never find the answers, we have to keep on asking questions.

 

[Monshi]

UFF, om du inte tar dig en bättre ton lär du inte bli långlivad här.

 

Läs igenom Eforums regler om hur vi förhåller oss till varandra här:

//eforum.idg.se/Eforumintro.asp#Del8

(punkt 1 och 2 är en bra start)

 

/T

 

Even when we know we´ll never find the answers, we have to keep on asking questions.

 

[KGHKGH]

Tack. MEn jag fattar ändå inte riktigt.

Uppgiften vi räknade i skolan såg ut ungefär så här och svart blev k.

 

Det stod överst f(x)=kx+m

 

sen stod det

 

f(x+1) - f(x+1)

 

och sen när man gångrade in så blev det bara K kvar

 

//KGH

 

[Anjuna Moon]

Derivaten y' för en rät linje (y=kx+m) beräknas enligt

y'=( f(x+1)-f(x) ) / (x+1)-x

 

Eftersom f(x)=kx+m så är f(x+1)=k(x+1)+m

Detta ger att f(x+1)-f(x)=k(x+1)+m-(kx+m)=kx+k+m-kx-m=k

 

Derivatan för funktionen är alltså k

 

[Nenna80]

Det finns bara ett enkelt knep.

 

När man deriverar så minskar man graden på x.

exempel

 

f(x)=k*x => f'(x)=k*1*x^(1-1) vilket ger k

1 är den grad som x har

 

f(x)=k*x^2 => f'(x)= k*2*x^(2-1)=2*k*x

 

generellt

 

f(x)=k*x^p => k*p*x^(p-1)

 

Om det finns en konstant med i ekvationen som man addera typ k*x+m så försvinner den då den inte har något x hos sig.

 

Det finns mycket krångligare sätt att beskriva derivatan på men jag tycker dem förvillar en bara. Hoppas detta är till någon hjälp.

 

/Nenna

 

PS: Motsvarigheten till derivatan är integral, där ökar men graden på x istället.

 

[Monshi]

men, den där ekvationen blir ju 0?

 

 

 

 

/T

 

Even when we know we´ll never find the answers, we have to keep on asking questions.

 

[Nenna80]

Vilken ekvation blir noll???

 

/Nenna

 

[Monshi]

Det stod överst f(x)=kx+m

 

sen stod det

 

f(x+1) - f(x+1)

 

 

/T

 

Even when we know we´ll never find the answers, we have to keep on asking questions.

 

[Pejo]

Hej,

 

Jag har alltid haft lättast att förstå derivata grafiskt. Titta på bifogad figur, den visar trippmätaren på en bil som åker från A till B på en timme. Mätaren börjar på noll och är sedan avläst (väldigt) tätt för att till slut stanna på 50 km. Nu är jag dock intresserad av hastigheten, hur får jag reda på den?

 

Vi kan alltid ta medelhastigheten för hela resan, dvs 50km/1tim=50km/tim. Detta är detsamma som att bilen skulle ha kört lika fort hela tiden och motsvarar den blå linjen i första grafen. I verkligheten har hastigheten ändrats under resan. En liten stund efter starten är t.ex. kurvan nästan plan, dvs sträckan ändras inte alls på en lång tid (bilkö?). Hastigheten är detsamma som ändringen av sträckan under en viss tid, dvs lutningen på kurvan. En lodrätt linje innebär oändlig hastighet.

 

Nu vill jag veta fur fort det gick efter 30 min. Jag kan alltså beräkna en medelhastighet genom att dra en linje genom två punkter på kurvan och titta på denna linjes lutning. Medelhastigheten för hela resan är inte speciellt exakt, men om jag räknar ut medelhastigheten för 5 minuter istället? Detta motsvarar den gröna linjen i andra grafen och ger troligen ett bättre värde. Genom att minska tidsintervallet kommer jag allt närmare hastigheten vid 30 minuter, dvs vad som stod på hastighetsmätaren just då. (Den röda linjen i tredje grafen.)

 

Precis vid 30 minuter finns tyvärr bara en punkt och linjen kommer då att övergå i en så kallad tangent. I det här fallet får jag uppskatta lutningen på denna linje, men om kurvan var beskriven av en funktion s=f(t) finns ett annat sätt.

medelhastigheten, v, ges vid tiden t av

v = "en sträcka"/"motsvarande tid" = [f(t+h) - f(t)]/[(t+h)-t],

där h är en liten ändring i tid.

När h går mot 0 går uttrycket för v mot ett gränsvärde, vilket kallas derivata!

Nu är det ganska jobbigt att hålla på så här hela tiden för att räkna ut derivator och som tur är finns det en massa deriveringsregler för olika typer av funktioner. (T.ex. den som Nenna80 beskriver.)

 

mvh

/Johan

 

[bild bifogad 2005-10-10 09:46:14 av Pejo]

[inlägget ändrat 2005-10-10 09:48:49 av Pejo]

[KGHKGH]

Tack så mycket för alla svar. Jag har blivit ganska mycket klokare.

Det sista jag undrar nu är om det somjag räknade i skolan, var en uträkning utav derivatan.

 

Så såg talen ut och så här löste jag dem:

 

Låt f(x)=kx+m och bestäm:

 

 

a)

f(1)-f(0)

(k(1)+m) - (k(o)+m)

k+m-m

k

 

f(x+1)-f(x)

(k(x+1)+m) - (k(x)+m)

kx+k+m-kx-m

k

 

c)

(f(x+2)-f(x))/2

((k(x+2)+m)-(k(x)+m))/2

(kx+2k+m-kx-m)/2

2k/2

k

 

d)

(f(x+n)-f(x))/n

((k(x+n)+m)-(k(x)+m))/n

(kx+kn+m-kx-m)/n

kn/n

k

 

Alltså är de fyra tal som jag gjort ovan "deriveringar".

 

En än gång tack för alla svar

 

//KGH

 

 

 

 

 

 

 

 

 

[Anjuna Moon]

Det sista jag undrar nu

Dina uträkningar är korrekta och det du har bevisat med dessa är att derivatan för kx+m=k för samtliga x, vilket jag gissar var syftet med övningen. Men jag uppfattade inte vad din fråga var kring detta.

 

Alltså är de fyra tal som jag gjort ovan "deriveringar".

Nja, mer stringent så defineras derivatan i en punkt som de ekvationer ni använder nu då intervallet h, eller x2-x1, går mot 0. Men detta kommer ni komma till senare.

 

[KGHKGH]

Tack för svaret Anjuna.

Det jag ville veta var om jag hade räknat ut derivatan och det hade jag ju gjort.

 

JAg hittade några derivata problem p internet och nu undrar jag om någon skulle kunna hjälpa mig och visa steg för steg hur man löser dem?

 

f(x)=7x2(kvadrat) + 2x -1

f(x)fjärde roten ur x +3/x2(kvadrat)

 

[Nenna80]

f(x)=7x2(kvadrat) + 2x -1 => f'(x)=7*2*x^2-1 +2x^1-1=14x+2

 

f(x)=fjärde roten ur x +3/x2(kvadrat)=x^(1/16)+3*x^-2

 

f'(x)=(1/16)x^(-15/16)-6x^-3=1/(16x^(15/16))-6/x^3

 

/Nenna

 

[KGHKGH]

Tack, men hur kan svaret på förta bli 14x +2?

Var tar dom två x:en som står efter + vägen och var kommer 2:an ifrån?

Jag förmodar att du använda formeln som du skrev i ett ttidigare inlägg?

 

//KGH

 

[KGHKGH]

Hur kan 2x-1 bli 2?

jag har tittat på deriveringsregler men jag får inte ihop det.

 

 

//KGH

 

[Monshi]

Hur kan 2x-1 bli 2?

Deriverar du ovanstående med asveende på x blir resultatet samma som summan av derviatan av 2*x och 1.

 

Vad är derivatan av 2*x? Jo 1*2 *^(x^(1-1)) = 2*x^0 = 2* 1 = 2

Det rödmarkerade är den "ursprungliga exponenten till x, den minskas med ett och den resulteraden x-termen multipleceras med denna.

 

Derivatan av 1? Ja det är en konstant, det finns ingen variabel där, inget x. Derivatan är noll.

 

 

Du får nog ta en titt på reglerna igen. och fundera på vad integralen av f(x) = x är.

 

 

 

/T

 

Even when we know we´ll never find the answers, we have to keep on asking questions.

 

[KGHKGH]

Tack, jag hittade en sida med en del deriverings regler så jag tror jag börjar att fatta mer nu. Men det där sista Monshi som om intergralen av

f(x)=x fattar jag inte ett dugg utav.

 

//KGH

 

[Monshi]

Om f(x) = x, vad blir då integralen av denna funktion, det var vad jag menade.

 

Precis som att multiplikation och division hör ihop, så hör integrering och derivering ihop.

 

Derivatan kan säga är tangenten på funktion f(x).

Integralen är ytan under funktionen f(x) mellan punkterna x1 och x2.

 

Asch, pedagogiken brister...

 

 

/T

 

Even when we know we´ll never find the answers, we have to keep on asking questions.