3 okända, 2 ekvationer, men lösning i alla fall?

[Capricorn1980]

Hej jag har en liten fråga över ett problem som jag snubblade över för ett tag sedan. Jag kommer att pesentera problem och lösning nedan. Problemet för mig är att jag inte riktigt förstår hur de som har skrivit lösningen tänkte för att komma fram till svaret.

 

Problem

Man kan för trettiosex mynt köpa sig en kniv, ett svärd och nio pilar. Två svärd kan bytas mot en kniv och fyra pilar. Vad får man betala för vart och ett av dessa vapen?

 

Lösning

2 mynt kostar en kniv, 3 mynt kostar en pil och 7 mynt kostar ett svärd. Anta att x, y och z står för kostnaden av en pil, en kniv och ett svärd, i den ordningen. Då blir (1) 36=y+z+9x; (2) 2z=y+4x, eller y=2z-4x.

Genom att ersätta y med (2z-4x) i ekvation (1) får vi 36=2z-4x+z+9x. Förenklar vi får vi ekvation (3): x=(36-3z)/5. Normalt brukar inte en ekvation med två variabler leda till ett unikt svar, men i det här fallet vet vi att x, y och z alla är positiva heltal och genom ekvation (3) ser vi att mängden (36-3z) är jämnt delbar med 5 (eftersom x är ett positivt heltal). Provar vi oss fram märker vi snart att de positiva heltalen i z, vilka gör (36-3z) jämnt delbart med 5, och x till ett positivt heltal, är z=2 och z=7. Om z=2 då blir x=6, men om x=6 blir får y, enligt ekvationerna (1) eller (2), vädet (-20), vilket ej är möjligt. Så z=7. Därmed blir x=3 och y=2.

 

 

Som ni ser i lösningen så ger uppgiften upphov till 2 ekvationer. Jag hänger också med på att man enligt substitutionsmetoden kan byta ut y i ekvation (1) till (2z-4x) och få ekvationen som uttrycker värdet av x. Och slutligen så förstår jag att det måste handla om positiva tal eftersom att priset på en vara inte brukar vara negativt (då skulle man juh få pengar när man handlade... haha).

 

Men det jag inte förstår är hur författaren kan vara så säker på att det handlar om hela tal? Finns det ingen möjlighet att det på något sätt kan handla om decimala tal? Om inte hur kan man se det då? Kan man se det på första ekvationen (1) eller måste man se på både (1) och (2)? Jag vet inte alls hur jag ska tänka... För övrigt är jag förbluffad över att man tydligen kan lösa ekvationssystem med 3 okända variabler och endast 2 ekvationer... något jag inte trodde var möjligt!?

 

Jag är ytterst tacksam för svar!

 

[Nenna80]

Du vet följande

k+s+9p=36

k-2s+4p=0

Detta system är underdeterminant, dvs, fler obekanta än ekvarioner. Nu finns det något som heter Psudoinvers som räknas fram genom följande:

 

Ekvationssystemet Ax=b där A är en matris och x,b är vektorer. Då är x=A^+b där A^+ är psudoinversen som räknas fram genom A^+=A'(AA')^-1 där A' är A:s transsponat.

Nu realiserar vi det på dina ekvationer:

A=[1 1 9;1 -2 4]

b=[36 ;0]

x=[k; s;p]

A^+=[-0.0270 0.0927; 0.1757 -0.3880; 0.0946 0.0328]

x=A^+ b= [-0.9730; 6.3243; 3.4054]

 

Detta är den minimala längd lösningen. Alltså då dessa två ekvationer befinner sig närmast origo. Så du har rätt visst kan lösningen på ekvationerna har decimaltal i lösningen, MEN inte problemet i sig då en kniv inte kan kosta något negativt osv.

 

Den lösningen du har är oftast den man tilltar på sådana problem då det rör sig om saker och pengar och dyligt där lösningen till hör de Naturliga talens domän, vilket innebär endast positiva heltal.

 

Den lösningen handla om att testa sig fram precis som de har gjort och kontrollera att båda ekvationerna uppfylls.

 

Hoppas detta klar gjorde dina frågertecken

 

/Nenna

 

 

[Capricorn1980]

Jag måste säga att dessvärre inte förstod de första 50% av inlägget på grund av att jag endast läst gymnasiematte upp till E-kursen. Har inte arbetat med vektorer och matriser i matte men jag har programmerat lite och där förekom vektorer och matriser är väl flerdimentionella vektorer tror jag (rätta mig om jag har fel).

 

Hur som hälst så kollade jag lite på följande två rader du skrev:

 

x=[k; s;p]

x=A^+ b= [-0.9730; 6.3243; 3.4054]

 

Och av det tolkar jag det som lösningen är:

 

k=-0.9730

s=6.3243

p=3.4054

 

Stämmer det? Om det stämmer så tolkar jag det som att det i just det här fallet inte finns någon lösning med endast positiva decimaltal... och så kan vi inte ha negativa priser. Men rent hypotetiskt sett, skulle man inte kunna konstruera ett ekvationssystem som hade alla tre svaren som positiva decimaltal... låt oss säga en liknande version av problemet där man istället frågar efter hg-priset på tre olika sorters lösgodis? Då kommer vi väl i en helt annan situation där vi inte längre befinner oss i de positiva heltalens domän. Nå ja nog med mina spekulationer.

 

Och slutligen till en fråga som jag känner att jag inte riktigt fick svar på: jag tolkar det som att man inte genom att bara kolla på de två ekvationerna kan veta att det handlar om heltalslösningar, stämmer det?

 

Och enligt det du skrev:

 

Den lösningen du har är oftast den man tilltar på sådana problem då det rör sig om saker och pengar och dyligt där lösningen till hör de Naturliga talens domän, vilket innebär endast positiva heltal.

 

...så måste jag direkt anta att det handlar om heltal, eller?

 

[Haakon]

Det står ju i formuleringen: ”Man kan för trettiosex mynt köpa sig…”

Detta innebär väl att mynten skall vara hela och inte delbara (det går ju knappast att växla dem, då får man ju fler än 36 mynt…).

 

Men – bortsett från det - visst kan lösningen bestå av rationella tal. Vi hade ju följande:

 

K+S+9P = 36

2S = K +4P, S = ½K+2P

 

vilket ger

 

3K+22P = 72

 

antag nu att priset för en pil är 1,50 mynt så får man

 

3K = 72-33 = 39, dvs K = 13 vilket ger S = 9,50

 

så länge som 3K+22P < 72 kan du alltid hitta rationella lösningar till problemet, men – som sagt – här är man bara intresserad av heltalslösningar.

 

 

[Nenna80]

matriser är väl flerdimentionella vektorer

Det är helt rätt!

 

jag tolkar det som att man inte genom att bara kolla på de två ekvationerna kan veta att det handlar om heltalslösningar, stämmer det?

 

Det stämmer! Man måste veta vilka förutsättningar de två ekvationerna har, vet man inga förutsättningar utan det står "Lös ekvationerna" så är det min lösning på k,s,p som gäller. Och i regel är det psudoinversen man räkna med.

 

(Detta med psudoinvers, kommer man till efter att ha läst så där 30 poäng på högskolenivå. Men det är ett himla enkelt och bra sätt att lösa ekvationers optimala lösning.)

 

När man får text till ekvationerna så är det den som gäller för hur man skall lösa ekvationerna, i detta fallet måste alla tre variablerna vara positiva heltal.

 

Hoppas detta förklara dina frågetecken!

/Nenna80

 

 

[inlägget ändrat 2005-09-05 07:03:36 av Nenna80]

[Capricorn1980]

Tack så mycket allt känns nu mycket klarare!

 

Från det ena till det andra, har någon av er gjort högsoleprovet?

Och i så fall hur stor chans tror ni att det är att den här typen av underdeterminanta ekvationssystem finns med på provets "matte-del"? Det vill säga problemet i omarbetad form.

 

Anledningen till att jag frågar är att jag själv satt i system i samband med provskrivningarna att alltid räkna uppgifter som olösliga om de ger upphov till mindre antal ekvationer än antalet okända variabler. Om problem av ovanstående typ skulle finnas med på provet skulle jag därmed alltid förlora en poäng där... *suck*

 

Någon av er förresten som vet någon bra teknik man kan använda sig av när man ska öva inför/skriva provet? Kanske någon bok som kan vara bra att läsa för den typen av logiska problem som man finner på

NOG-delen, som kan hjälpa en att komma in i rätt tankebanor?

 

[Cecilia]

Tidigare givna prov vore kanske något?

http://www.umu.se/edmeas/hprov/hp-tidg.html

http://www.studera.nu/hprovet/infor_provet/ovningsprov.shtml

 

 

[Vanjis]

Det är nog ganska klokt att tänka som du tänker, att det inte finns en unik lösning då antalet ekvationer är färre än antalet okända variabler. Även att inte alla uppgifter krävs för en unik lösning vid det omvända fallet (#ekv>#variabler). I ditt exempel har du tre variabler och två ekvationer men även ett villkor. Totalt tre kända villkor. Nu är det ju inte garanterat att det inte finns fler än en heltalslösning så detta villkor sållar bara bort lösningar och garanterar inte en unik lösning.

 

[Nenna80]

Någon av er förresten som vet någon bra teknik man kan använda sig av när man ska öva inför/skriva provet?

 

Läs lite varje dag, en timme till två. Håll dig till ett ämne om dagen, typ engelska på måndagen, svenska på tisdagen osv.

 

Har du kvar böckerna från gymnasiet, så läs igenom gramatiken, och dyligt. I matteböckerna så gör några övningar på varje kapitel för att komma igång.

 

Plugga gamla högskoleprov, behåll ett prov som du inte gör utan spara det till några dagar innan du skriver. Sätt dig med det provet och de hjälpmedel som är tilllåtena, sätt äggaklockan på ringning. Gör provet precis som du skulle skriva det riktiga helt enkelt.

 

Nu har jag aldrig skrivit högskole provet, men så här går jag tillväga på mina tentor och det är ett vinnande koncept, fem års studier, cirka 20-25 tentor och alla klarade på första försöket.

 

/Nenna80