Hjälp med differentalekvationer (Matte E)

[Fredrikkoraudi]

Tjena hej

 

Jag behöver hjälp med ett mattetal jag inte förstår å ja tänkte om nån smart en kan kanske hjälpa mig ;D

 

Bestäm den lösningen till differenitalekvationen: Y''+2y'-3y=0 som uppfyller villkoren y( 0) =0 och Y'(0 ) =4

 

EXTREMT SUPERTACKSAM för svar

 

[cthulhu]

1) Ställ upp en karakteristisk ekvation.

2) Hitta dess nollställen.

3) Ansätt sedan en lösning med rätt antal (i detta fall 2 st) obestämda konstanter.

4) Bestäm konstanterna utifrån givna randvillkor.

 

( y = exp(x) - exp(-3*x) )

 

 

[Anjuna Moon]

Nu ska vi se om jag minns rätt:

 

1) Lös den karaktäristiska ekvationen m²+2m-3=0 =>

m1=1, m2=-3

 

2) Med två skilda reella rötter fås lösningen

y=Ae^(x)+Be^(-3x)

 

3) y(0)=0 ger

0=A+B => A=-B

 

4) y'(0)=4 ger

4=A-3B

 

3+4 => 4=A+3A =>A=1, B=-1

 

Lösning:

y=e^(x)-e^(-3x)

 

 

EDIT: MÄRKTE JUST ATT JAG TOTALDABBADE MIG PÅ LÖSNINGEN AV 1) MEN DU SER PRINCIPEN

EDIT 2: TROR DET SKA STÄMMA NU

 

[inlägget ändrat 2005-05-31 17:38:39 av Anjuna Moon]

[Fredrikkoraudi]

tack så jättemycket!

 

kanske du/ni kan hjälpa med en till här då när ni ändå har farten uppe?

 

Då står det såhär:

 

Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y''+4y'+20y=sin2x

 

Hade varit toktacksam igen!!!

 

har svårt för matte, men detta är nog den sista uppgiften ja behöver hjälp med )

 

[inlägget ändrat 2005-05-31 18:16:08 av Fredrikkoraudi]

[Anjuna Moon]

Nu får du bara ledning:

1) Hitta först lösningen, Yc, till den homogena motsvarigheten (Y"+4Y'+20Y=0) till ekvationen (samma metod som i förra exemplet)

2) Hitta någon partikulärlösning, Yp.

3) Den allmänna lösningen fås ur Y=Yc+Yp

 

PARTIKULÄRLÖSNING

Gissa först formen på partikulärlösningen. I det här fallet är Yp=Acos2x+Bsin2x en lämplig gissning (hade det varit en förstagrads diff.ekv hade Asin2x varit en lämplig gissning)

 

Differentiera Yp och ställ upp ekvationen Y"p+4Y'p+20Yp=sin2x

Lösningen på denna ger A och B vilket ger dig Yp

 

EDIT: Ang. 1), det är samma metod som tidigare, men utan randvillkor, vilket betyder att du inte bestämmer något värde på konstanterna

[inlägget ändrat 2005-05-31 18:40:55 av Anjuna Moon]

[Fredrikkoraudi]

Tack så mkt igen! den var lättare än den förra! ;D

 

Nu kommer den sista uppgiften, jag har fått ledning på den men jag förstår verkligen inte alls

 

Absolut sista detta, sen ska jag sluta terra er

 

Såhär står det:

 

koldioxiden i atmosfären ökar bla på grund av förbränning av fossila bränslen. Före industrin kom till gick koldioxidhalten upp till 280 part per million. År 1960 var halten 310 ppm och har sedans dess ökat med hastigheten 0.40% per år

 

uppg A: Ställ upp en differentialekvation so mvisar hur koldioxidhalten y ppm förändrar med ditden X år räknat ifrån 1960.

 

När 280ppm har fördublats anser vissa forskare att medeltempen vid jordytan kommer att höjjas 2-5 grader... kommer denna fördubbling att inträffa under nästa århundrade?

 

På har jag sett att svaret ska vara "JA" men jag har inte sett hur man räknar ut

 

Anjuna Moon, väntar på ditt svar ;D

 

Tack så mkt igen!!! /F

 

[Anjuna Moon]

Urk, har aldrig gillat tillämpningar. Jag chansar hejvilt =)

 

A) y'=ky

y'-0.004y=0

 

y(0)=310

y(t)=Ao*e^(kt)=310e^(0.004t)

 

År 2100: y(140)=543

År 2200: y(240)=809

 

Svar: Ja, nästa århundrade har värdet 280 hunnit fördubblas

 

[inlägget ändrat 2005-05-31 20:02:29 av Anjuna Moon]

[Fredrikkoraudi]

Haha ja, tack så mkt, de stämde faktiskt min uträkning då!

 

men nu är det ännu ett problem.. på denna

 

Bestäm den allmänna lösningen till differentialekvationen y''+4y'+20y=sin2x

 

 

Jag kommer ingenvart ändå, fan, lite backup? ;D

 

/F

 

 

[Anjuna Moon]

Var fastnar du? Här är lösningen på del 1 av problemet

Yc

m²+4m+20=0 => m=-2± 8i

 

Vid komplexa konjugerande rötter så får du:

Yc=Ae^(-2+8i)+Be^(-2-8i)

 

Eftersom e^(n*i)=cos(n)+i*sin(n) bör efter ersättningar Yc bli:

Yc=e^(-2x)*(A*cos8x+B*sin8x)

 

 

 

[Fredrikkoraudi]

Yc=e^(-2x)*(A*cos8x+B*sin8x)

 

så långt har jag också fått ut, men sen är det stopp :/

 

[Anjuna Moon]

Då tar vi Yp:

 

Differentiera:

y=Acos2x+Bsin2x

y'=-2Asin2x+2Bcos2x

y''=-4Acos2x-4Bsinx

 

Stoppa in i diff.ekv:

y"+4y'+20y=sin2x

-4Acos2x-4Bsinx+4(-2Asin2x+2Bcos2x)+20(Acos2x+Bsin2x)=sin2x

cos2x(16A+8B)+sin2x(16B-8A)=sin2x ger systemet:

 

16A+8B=0 => B=-2A

-8A+16B=1 =>A=-1/8+2B

B=-1/20

A=1/40

 

och då fås partikulärlösningen

Yp=1/40*cos2x-1/20*sin2x

 

[Fredrikkoraudi]

TACK! jag hade nästan kommit så långt!

 

Sen en sak till, fast nu har ni siffrorna osv, men hur fan slår man detta på miniräknare?

 

15000x7000^3

-------------------

3x2.05x10^5x36660x10^4x(6/7^2x1/7^2)

 

(2.05x10^5) och (36660x10^4) är som ett tal var, förstår du? så det ska som räknas inom parantes

 

/F

 

 

 

[Anjuna Moon]

Det är väl lite olika beroende på miniräknare. Mina har alltid haft en EXP-knapp, där du matar in ex. 6.0*10^5 som

6.0

EXP

5

 

EDIT: För andra baser än 10 minns jag inte om det fanns ngn speciell funktion för det, jag tror man fick räkna ut det i steg istället.

[inlägget ändrat 2005-05-31 22:02:28 av Anjuna Moon]

[Fredrikkoraudi]

Jo men det blir ändå jäkla fel, de ska bli typ 0.06mm men de blir 1.31x10^26 å en annan gång typ 9313.1235 osv

 

[cthulhu]

m²+4m+20=0 => m=-2± 8i

 

Jag vill egentligen inte agera glädjedödare, men...

 

m^2 + 4m + 20 = 0

=>

m = -2 ± i4

 

 

[Anjuna Moon]

Jag vill egentligen inte agera glädjedödare, men...

Hehe, det är helt ok =) Var rätt trött vid det där laget...

 

[Cecilia]

Posta en fråga endast en gång, tack! Tänk på Eforums regler.

//eforum.idg.se/Eforumintro.asp

 

Din andra tråd om just denna ekvation är raderad.

 

Svaret från fabbebabbe är inklistrat här:

först o främst lös den kar.ekv

 

r2+4r+20 = 0

o senare för att kunna lösa den homogena delen,

 

sätt y=Acosx+iBsinx

 

ta fram y' o y" o sätt värdena på y, y' o y" i ekvationen

 

lös ut senare A o B och där har du svaret.

 

Lycka till

 

Cecilia - Moderator för Matematik

 

[PerboMan]

Knepet är nog snarare att förenkla så mycket som möjligt innan man matar in något på miniräknaren.

 

/Pär B