Just nu i M3-nätverket
Jump to content

Talet 9^400


dj_fish

Recommended Posts

Hej!

Jag sitter med Projektuppgiften i Matematik D (gymnasienivå). Tyvärr har flickvännen tagit för mycket av min tid och nu sitter jag under tidspress igen.

Uppgiften är följande;

Bestäm de fem sista siffrorna i talet 9^400.

 

Jag behöver inget svar (även om det skulle hjälpa...) men iaf en puff i rätt riktning.

 

Tack på förhand!/Fredrik Malmqvist

 

 

Link to comment
Share on other sites

Då ska vi se...

$ echo 9^400 | bc
4977414122938492192881464029729961679802517669640314331069754317413863193300588672960378941038799444233797200629740876278809425638436874294137213623651683084623545115805694417048191856898335577690331770093271154442020977681305435856437590481321498962517248672813060123683011804992094505499691756946329466238029256908317387659245893361869285485179777099016847012698558309358412176001

;)

 

Testa att kolla på 9^0, 9^1, 9^2 osv och se om du ser nåt mönster:

[log]$ i=0; while true; do echo 9^$i |bc; i=$(($i+1)); done

1

9

81

729

6561

59049

531441

4782969

43046721

387420489

3486784401

31381059609

282429536481

2541865828329

22876792454961

205891132094649

1853020188851841

16677181699666569

150094635296999121

1350851717672992089

12157665459056928801

109418989131512359209

984770902183611232881

8862938119652501095929

79766443076872509863361

717897987691852588770249

6461081889226673298932241

58149737003040059690390169

523347633027360537213511521

[/log]

 

Link to comment
Share on other sites

hubbemannen

Den erbjudna lösningen begagnar sig av 'råstyrka'. Man skulle

också kunna använda lite list:

 

1. Konstatera först att vårt talsystem är ett positionssystem

med basen 10.

 

2. Konstatera att 9 = (10-1), dvs att vi ska hitta de fem

sista siffrorna i (10-1)^400. Dvs vi ska hitta entals-,

tiotals-, hundratals-, tusentals- och tiotusentals-siffran.

 

3. Studera binomialutvecklingen av (10-1)^400:

 

(10-1)^400=(400!/(0!*400!))*10^400*(-1)^400 +

(400!/(1!*399!))*10^399*(-1)^399 +

.

.

(400!/(5!*395!))*10^5*(-1)^395 + (10^5=100000)

(400!/(4!*396!))*10^4*(-1)^396 + (10^4=10000)

(400!/(3!*397!))*10^3*(-1)^397 + (10^3=1000)

(400!/(2!*398!))*10^2*(-1)^398 + (10^2=100)

(400!/(1!*399!))*10^1*(-1)^399 + (10^1=10)

(400!/(0!*400!))*10^0*(-1)^400 + (10^0=1)

 

Det är nu de fyra sista termerna som är intressanta att

studera vidare; dessa är de enda som har potential att påverka

de fem sista siffrorna. Vidare konstaterar vi att 400=4*100,

vilket medför att vi bara behöver intressera oss för de tre

sista termerna i summan ovan.

 

Låt nu SS vara summan av alla termer utom de tre sista - detta

är ett tal där de fem sista siffrorna samtliga är nollor enligt

resonemanget ovan.

 

Alltså (10-1)^400 = SS + (400!/(2!*398!))*10^2*(-1)^398 +

(400!/(1!*399!))*10^1*(-1)^399 +

(400!/(0!*400!))*10^0*(-1)^400

 

Räkna nu ut term för term:

 

 

(400!/(2!*398!))*10^2*(-1)^398 = 2*100*399*10^2*1 = 7980000

(400!/(1!*399!))*10^1*(-1)^399 = 400*10*(-1) = -4000

(400!/(0!*400!))*10^0*(-1)^400 = 1*1*1=1

 

Dvs (10-1)^400 = SS + 7980000 - 4000 + 1 =

(SS + 7900000) + 80000 - 4000 +1 =

(SS + 7900000) + 76001

 

Med andra ord de fem sista siffrorna är 76001.

 

Fråga till zerblat:

 

Vad nyttjar du dig av för system som så elegant ger uträkningar

med så många siffror?

 

mvh

hubbemannen

 

 

Link to comment
Share on other sites

I just det här exemplet fungerar det utmärkt att använda Power Toy Calc.

 

F ö har jag för mig att jag en gång löste liknande tal med moduloräkning!? Fast det var så länge se'n, och minnet är så kort...

 

Link to comment
Share on other sites

Archived

This topic is now archived and is closed to further replies.



×
×
  • Create New...