Geometriska sannolikheter

[sir_greger]

Hej! Jag har stött på lite problem med en uppgift jag fått av min lärare och jag undrar bara om någon vet hur man kommer fram till svaret.

 

Uppgiften lyder:

 

Undersök sannolikheten för att andragradsekvationen

 

x^2+px+q=0

 

har reella rötter, om p och q väljs slumpvis som reella tal i intervallet

 

a) mellan 0 och 1

mellan 0 och 5

c) mellan 0 och N, där N --> oändlig

 

 

Jag har löst a) och genom integraler och svaren jag får där är 1/12 respektive 125/12. Min fråga är alltså hur jag ska lösa c). Min lärare gav mig tipset att jag ska rita upp grafer men jag förstår helt enkelt inte hur man ska komma fram till lösningen.

 

Väldigt tacksam för svar

 

[erik6]

Kan sannolikheten för att något ska inträffa vara större än 1 ?

 

a) = 1/12 verkar rimligt som en sannolikhet

= 125/12 är väl tyckfel?

 

Jag gjorde ett försök med Excel genom att beräkna sannolikheten för att q <p2/2

för

p=

0

0,1

0,2

osv

1

och lade ihop alla sannolikheterna och fick 0,1925

för

p=

0

0,1

0,2

osv

5

fick jag 0,8585

jag gissar att

resultatet för

0 till N när N går mot oändligheten blir

 

ja nått får du göra själv;-)

[inlägget ändrat 2004-11-10 20:11:36 av erik6]

[Ohne]

Nej. Sannolikheten måste vara mellan 0 och 1.

 

Svaret på den första frågan får man genom att ta integralen :

 

SVAR A: Int(0->1)[(p^2)/4]=1/4(1/3-0)=1/12

 

Denna area ska sedan divideras med arean av kvadraten (p,q): (0,0),(0,1),(1,0),(1,1) vilken är lika med 1.

 

1/12 dividerat med 1 är ju 1/12.

 

På den andra frågan tar man integralen:

(då p=root(20) skär kurvan kvadraten)

 

Int(0->root(20))[(p^2)/4]=1/4((20^(3/2))/3 - 0)=7,45

 

sedan får man addera den lilla biten som fattas mellan kurvan (p^2)/4 och kvadraten (0,0),(0,5),(5,0),(5,5):

 

(5-root(4*5))*5=25-22,36=2,64

 

Alltså totala arean är 7,45+2,64=10,09

 

För att få sannolikheten ska man dividera med kvadratens area som i det här fallet är 5*5=25

 

SVAR B: 10,09/25=0,4036 alltså ungefär 2/5

 

 

Sista frågan:

 

Int(0->root(4*n)):[(p^2)/4]=1/4(((4*n)^(3/2))/3 - 0) =(1/12)*8*n^(3/2)=(2/3)*n^(3/2)

 

sedan addera biten utanför kurvan och kvadraten (0,0),(0,n),(n,0),(n,n): (n-root(4*n))*n

 

(2/3)*n^(3/2)+n^2-2*n^(3/2)= n^2 -(4/3)*n^(3/2)

 

sedan dividera med arean på kvadraten n*n=n^2

 

=> sannolikheten: 1-(4/3)*(1/(root(n))) och då n-> oo så går sannolikheten mot 1, vilket är svaret på frågan.

 

SVAR C: Sannolikheten går mot 1.

 

[sir_greger]

vad är det för kvadrat du skriver om? och vad betyder root? jag är inte bekant med dem termerna.

 

om du skulle kunna förlara dess rader för mig skulle jag vara väldigt tacksam:

 

Int(0->root(20))[(p^2)/4]=1/4((20^(3/2))/3 - 0)=7,45

 

(5-root(4*5))*5=25-22,36=2,64

 

[Anjuna Moon]

Skulle tippa på att Ohne med Int(0->root(20)) menar integralen med gränsvärdena 0 och roten ur 20.

 

[(p^2)/4] är funktionen som skall integreras.

 

[Ohne]

Anjuna Moon har rätt. Med root menar jag roten ur och med

Int(0->root(20))[p] tex menar jag integralen från 0 till roten ur 20 av funktionen p. Sedan har jag glömt skriva ut dp efter integralen, men man förstår väl att integreringen ska ske med avseende på p.

 

I det första fallet skulle man räkna ut sannolikheten att andragradsekv. har reella rötter för slumvis valda p och q mellan 0 och 1. För att göra detta ritar man upp ett koordinatsystem med q som y-axel och p som x-axel. Därefter ritar man in gränserna för p och q, dvs p och q kan anta värden mellan 0 och 1, dvs en kvadrat med hörnen i (0,0), (0,1),(1;0),(1,1).

 

Arean av denna kvadrat är 1. För att veta sannolikheten tar man arean under vår funktion och dividerar med arean 1, vilket ger oss svaret på a)-uppgiften.

 

[sir_greger]

men är det inte så att den allmänna formeln i slutet inte gäller för n= 1?

[inlägget ändrat 2004-11-11 23:46:33 av sir_greger]

[Ohne]

Nej den gäller inte för n=1, men å andra sidan är det ingen allmän formel...

 

Bara nyfiken, men vad är det för kurs du läser?

 

[sir_greger]

jag går i grundskolan (nian) o min lärare anser att jag har goda förutsättningar inom matematik ( och fysik) så han brukar ge mig lite stenciler och extrauppgifter

 

[MrB]

Det var inte dåligt om du kan räkna med integraler i nian! Bra lärare du har dessutom som uppmuntrar starka elever. Men berätta gärna att du fick lite hjälp med uppgiften, för ärlighet varar längst. Dessutom så ska man aldrig skämmas för att erkänna att man fått hjälp.

 

[Cluster]

Klart grabben ska ha ett poäng!

 

/Cluster

----------------------------------------------------

"Den som försummar att dricka ur erfarenhetens källa

kommer troligen att dö av törst i okunnighetens öken."

-----> http://unic.serveftp.com/eforum <-----

 

[sir_greger]

det ska jag garanterat göra:)